Witam!
Jak wyznaczyć granice całkowania w celu obliczenia pewnej całki postaci \(\displaystyle{ \iint_D(y+\frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2}})dxdy}\)? Obszar D wygląda następująco:
\(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-3)^2=1}\)
Czy byłoby to: \(\displaystyle{ 4\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{tg{2}}dx\int\limits_{2\sqrt{3}}^{\frac{4}{cos\varphi}}rsin\varphi(2r-1})dy}\)
Cała trudność polega na tym, że środek okręgu nie znajduję się na żadnej z osi układu współrzędnych. Mile widziane będą też wszystkie wyjaśnienia (krok po kroku) w procesie wyznaczania wspomnianych granic. Z góry dziękuję.
Okrąg we współrzędnych biegunowych.
-
Kaktusiewicz
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
-
Kaktusiewicz
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm Śląski
- Podziękował: 16 razy
Okrąg we współrzędnych biegunowych.
Witam!
Jeżeli rozpatrywalibyśmy to w normalnych współrzędnych to górną granicą dla y byłoby \(\displaystyle{ 3+\sqrt{-x^2+2x}}\). Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe 0. Z niego otrzymałem górną granicę dla promienia. Dolną, jak również, odpowiadającą jej, dolną dla kąta fi wydedukowałem sam z rysunku, ponieważ jest łatwa do określenia. Przyjąłem takie granice dla kąta, by fi nie zerowało funkcji cosinus i \(\displaystyle{ \frac{4}{cos\varphi}}\) nie dążyło do nieskończoności.
Jeżeli rozpatrywalibyśmy to w normalnych współrzędnych to górną granicą dla y byłoby \(\displaystyle{ 3+\sqrt{-x^2+2x}}\). Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe 0. Z niego otrzymałem górną granicę dla promienia. Dolną, jak również, odpowiadającą jej, dolną dla kąta fi wydedukowałem sam z rysunku, ponieważ jest łatwa do określenia. Przyjąłem takie granice dla kąta, by fi nie zerowało funkcji cosinus i \(\displaystyle{ \frac{4}{cos\varphi}}\) nie dążyło do nieskończoności.