Matematyka.pl

jakby ktos mogl przynajmniej napisac bo widze ze chyba nie chce sie nikomu cale rozwiazywac ale przynajmniej co powstanie z przeciecia tych dwoch powierzchni jakie L mam ,czyli wlasnie napewno kuli i czegos tylko nie wiem czy ta druga pow to walec czy nie
znalezc całke
\(\displaystyle{ \oint_{L}(2z-2y)dx+(z-x)dy+(2y+x+z)dz}\) gdzie L powstała z przecięcia sfery \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4}\) z płaszczyzną
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\)i jest zorientowana zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z pktu (0,0,2)

Ta druga powierzchnia to jest zwykła płaszczyzna. Możesz ją sobie wyobrażać jako płaszczyznę prostopadłą do wektora [1,1,1].

Wiec L to będzie okrąg.

[edit]
heh, teraz doczytałem że sama w swoim poście nazywasz tą powierzchnie płaszczyzną...
To juz nie wiem o co pytasz.

dzieki rzeczywiscie nie mysle juz czyli to okrag na wys 1 tak tylko po co pisali ze dodatnio skierowany z punktu (0,0,2)

Zwróć uwagę że punkt (0,0,0) należy do naszej płaszczyzny. Czyli przechodzi ona przez poczatek układu współrzędnych. Jest to także środek okręgu.
Tak więc L możesz sobie wyobrażać jako okrąg o środku w punkcie (0,0,0) oraz promieniu równym 2.

odnosnie tego zadania wyżej -kurcze powiedzcie mi jeszcze to zad robie we współrzednych sferycznych ale co robie z z bo przeciez to ma byc okrag i jego pole a nie objętość..., jak rozpisac te całke

[ Dodano: 17 Sierpnia 2007, 15:00 ]
wiem ze chyba jest to zwiazane z tw stokes'a jak przejrzalam teorie matko tylko ze my w zyciu takiego czegos nie mielismy na cwiczeniach mam nadzieje ze ktos to kojarzy

Można sparametryzować ten okrąg:
[edit]tu były bzdury[/edit]
Jest trochę rachunków, ale nie trzeba stosować tw. Stokesa (no chyba, że to zadanie należy koniecznie rozwiązać stosując to twierdzenie).

dzieki dalej juz sobie porozwiazuje tylko jeszcze jak m0ozesz to napisz jak szybko sparametryzowac okrag jest jakis prosty sposób bo mam problemy z y i z

Z tą parametryzacją w moim poprzednim poście coś pomieszałem, bo jest błędną

W każdym razie jeżeli sparametryzujemy okrąd w ten sposób:
\(\displaystyle{ x =2t, \quad y = - t - \sqrt{2 - 3t^2}, \quad z = - t + \sqrt{2 - 3t^2}}\)
to na 99% będzie OK.

A aby wyznaczyć tą parametryzację, to w układzie równań (wystarczy troszkę się pobawić równaniami by go otrzymać)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x y + x z + y z = -2 \\ x + y + z = 0 \end{cases}}\)
Podstawiam x=2t (bo wychodzą w miarę przyjemne wyniki) i wyliczam y i z.

kurcze nie bardzo wiem powoli to tak x=2t bo 2 to promien a t podstawiam tak a dalej jak to obliczam zeby mi wyszlo \(\displaystyle{ xy+xz+yz=-2}\)

joannna pisze: to tak x=2t bo 2 to promien

Niezupełnie - można podstawić x=t i też będzie dobrze, jednak w innych granicach będzie się zmieniać t.

A co do równania, to:
\(\displaystyle{ x+y+z = 0\\
(x+y+z)^2 = 0\\
x^2 + y^2 + z^2 + 2(x y + xz + yz) = 0\\
4 + 2(x y + xz + yz) = 0\\
x y + xz + yz = -2}\)
Ot.