Matematyka.pl

Jeszcze będę próbował, ale na razie nie mogę sobie poradzić
\(\displaystyle{ \int \frac{sin^2(x)cos^2(x)}{sin^8(x)+cos^8(x)}dx}\)
sugerowane rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} (\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot arctg(\frac{tg(2x)}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}})-\sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot arctg(\frac{tg(2x)}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}))+C}\)
zobaczę jak wam poszło dopiero jak się poddam

Na początek można podstawić \(\displaystyle{ t = \tan 2x, \quad dx = \frac{dt}{2(1+t^2)}}\), co sprowadzi całkę do postaci:
\(\displaystyle{ \int \frac{t^2 \, \mbox{d}t}{t^4 + 8t^2 + 8}}\)
I dalej kombinować...
(Podpowiem, że:
\(\displaystyle{ \frac{t^2}{t^4 + 8t^2 + 8} = \frac{-1 + \sqrt{2}}{-2t^2 + 4 \sqrt{2} - 8} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2t^2 + 4 \sqrt{2} + 8}}\) )

Jednak nie wpadł bym na podstawienie \(\displaystyle{ t=tg(2x)}\) ja próbowałem z \(\displaystyle{ u=tg(\frac{x}{2})}\) bo w tedy \(\displaystyle{ sin(x)=\frac{2u}{u^2+1}}\) itd.
ale szybko z tego zrezygnowałem ??: Nie mogę z Twojego podstawienia dojść do \(\displaystyle{ \int \frac{t^2dt}{t^4+8t^2+8}}\), mogłbyś to szczegółowiej rozpisać ; dalszą cześć wiem jak zrobić

Mamy:
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}}\)
Czyli będzie:
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1 + \cos \arctan t}{2}}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \cos \arctan t = \cos \arccos \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\)
To \(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}{2}}\)
Itd., itp. Chyba wiesz co należy już zrobić

Podpowiem jeszcze, że \(\displaystyle{ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}}\)

zaraz biorę sie do roboty to się przekonamy czy wiem co dalej zrobić chyba zacznę od podstawienia tego do funkcji w całeczce w każdym bądź razie na pomoc już zasłużyłeś, pakerze

[ Dodano: 3 Sierpnia 2007, 15:22 ]
no i udało się to była najtrudniejsza całka z jaką miałem doczynienia