Wzór rekurencyjny na tangens n-tego stopnia
: 28 lip 2007, o 13:30
Na pewno jest wam znany taki wzór:
\(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx=\frac{1}{n-1}tg^n^-^1(x)-\int tg^{n-2}dx}\)
ja znam go od niedawna ale nie mogę poradzić sobie z wyprowadzeniem
z \(\displaystyle{ \int sin^n(x)dx}\) czy z odwrotnością sobie poradziłem a z tangenstem jest problem, wiem, że trzeba przez części a do tego wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne, no i tak właśnie próbuję ale coś musiałem pominąć, tylko co
Próbuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx=\int tg^{n-1}(x)tg(x)dx=m(x)n(x)-\int m'(x)n(x)dx}\)
\(\displaystyle{ m(x)=tg^{n-1}(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ m'(x)=(n-1)tg^{n-1}(x) \frac{1}{cos^2(x)}}\)
\(\displaystyle{ n'(x)=tg(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n(x)=-\ln(\cos(x))}\)
następny krok to: \(\displaystyle{ \frac{1}{cos^2(x)}=1+tg^2(x)}\)
nie potrafię znać wzór i korzystać z niego nie wiedząc skąd sie wziął pomóżcie
\(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx=\frac{1}{n-1}tg^n^-^1(x)-\int tg^{n-2}dx}\)
ja znam go od niedawna ale nie mogę poradzić sobie z wyprowadzeniem
z \(\displaystyle{ \int sin^n(x)dx}\) czy z odwrotnością sobie poradziłem a z tangenstem jest problem, wiem, że trzeba przez części a do tego wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne, no i tak właśnie próbuję ale coś musiałem pominąć, tylko co
Próbuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx=\int tg^{n-1}(x)tg(x)dx=m(x)n(x)-\int m'(x)n(x)dx}\)
\(\displaystyle{ m(x)=tg^{n-1}(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ m'(x)=(n-1)tg^{n-1}(x) \frac{1}{cos^2(x)}}\)
\(\displaystyle{ n'(x)=tg(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n(x)=-\ln(\cos(x))}\)
następny krok to: \(\displaystyle{ \frac{1}{cos^2(x)}=1+tg^2(x)}\)
nie potrafię znać wzór i korzystać z niego nie wiedząc skąd sie wziął pomóżcie