Matematyka.pl

No ja się nie nauczę tych całesk dlatego po raz kolejny proszę was serdecznie o pomoc i dokładne rozpisywanie w maire możliwości metody rozwiazania tych całek



1) \(\displaystyle{ \int\frac{ln|x|}{x^{4}} dx=}\)

2) \(\displaystyle{ \int\frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{2x}} dx=}\)

3) \(\displaystyle{ \int x^{3}(ln x)^{2} dx=}\)

4) \(\displaystyle{ \int x^{n}ln x dx=}\)

Całki 2) i 3) obliczasz tą samą metodą, a mianowicie:

- podstawienie \(\displaystyle{ lnx = t}\)
- całkowanie przez części.

Dla przykładu rozwalę drugą całkę, bo wydaje się trudniejsza

Mamy kolejno:
a)\(\displaystyle{ lnx = t}\), stąd:

b) \(\displaystyle{ x = e^t}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{1}{x}dx = dt}\)

Stąd: \(\displaystyle{ \int\frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{2x}} dx= \frac{1}{\sqrt{2}}\int x^{\frac{1}{2}}(lnx)^2\frac{1}{x}dx =}\) teraz korzystając z a),b) i c) mamy: \(\displaystyle{ = \frac{1}{\sqrt{2}}\int e^{\frac{1}{2}t}t^2dt}\)

A tą całkę niszczymy poprzez całkowanie przez części tak, aby pozbyć się \(\displaystyle{ t^2}\)

Co do całek 1) i 4) - od razu całkowanie przez części polegające na wyeliminowaniu logarytmu

Edit: w zasadzie wszystkie całki można by pokonać od razu przez całkowanie przez części przez podstawienie \(\displaystyle{ lnx = t}\)

Pokażę dokładnie jak na przykład rozwalić całkę 4):


4) \(\displaystyle{ \int x^{n}ln x dx= t du*v dx}\)

\(\displaystyle{ du = x^n}\), \(\displaystyle{ v = lnx}\)
\(\displaystyle{ u = \frac{1}{n+1}x^{n+1}}\), \(\displaystyle{ dv = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ = uv - t u*dv dx = \frac{x^{n+1}lnx}{n+1} - t \frac{x^{n+1}}{n+1} \frac{1}{x} dx = \frac{x^{n+1}lnx}{n+1} -\frac{1}{n+1} t x^n dx = \frac{x^{n+1}lnx}{n+1} -\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C}\)