Jak policzyć taką całkę metodą inną niż podstawienie Eulera?
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-2x-x^{2}}} \mbox{d}x}\)
Całka niewymierna
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
-
M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Całka niewymierna
No dobrze, tylko wtedy będziemy musieli policzyć całkę \(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{1-2x-x^{2}}}}\) i czy z kolei na tą całkę jest inny sposób niż Euler?
Gdyby pod pierwiastkiem było.. \(\displaystyle{ 1-x^{2}}\) to podstawienie załatwiłoby sprawę, ale co w takim przypadku?!
Gdyby pod pierwiastkiem było.. \(\displaystyle{ 1-x^{2}}\) to podstawienie załatwiłoby sprawę, ale co w takim przypadku?!
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całka niewymierna
Standardowa metoda bez podstawień Eulera byłaby taka, że sprowadzamy funkcję podcałkową do postaci
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{\sqrt{2-(x+1)^{2}}}}\) i podstawiamy np. \(\displaystyle{ x+1=2\sin t}\).
Można też np. skorzystać z metody współczynników nieoznaczonych. Przewidujemy rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ (ax+b) \sqrt{1-2x-x^{2}}+c \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-(x+1)^{2}}}}\)
(tę ostatnią całkę już łatwiej wyliczyć bądź to podanym przeze mnie wyżej podstawieniem, bądź to sprowadzając do całki z pochodnej odpowiednio przeskalowanego i przesuniętego arcusa sinusa).
Różniczkujemy stronami równanie
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-2x-x^{2}}} \mbox{d}x=(ax+b) \sqrt{1-2x-x^{2}}+c \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-(x+1)^{2}}}}\), dostając
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{\sqrt{1-2x-x^{2}}}=a \sqrt{1-2x-x^{2}}- \frac{(x+1)(ax+b)}{ \sqrt{1-2x-x^{2}}}+ \frac{c}{\sqrt{1-2x-x^{2}}}}\) i z tego wyliczamy wartości stałych \(\displaystyle{ a,b,c}\), no i to chyba tyle.-- 8 wrz 2015, o 10:19 --Przepraszam, powinno być \(\displaystyle{ x+1=\sqrt{2}\sin t}\), ale pewnie się zorientowałaś.
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{\sqrt{2-(x+1)^{2}}}}\) i podstawiamy np. \(\displaystyle{ x+1=2\sin t}\).
Można też np. skorzystać z metody współczynników nieoznaczonych. Przewidujemy rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ (ax+b) \sqrt{1-2x-x^{2}}+c \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-(x+1)^{2}}}}\)
(tę ostatnią całkę już łatwiej wyliczyć bądź to podanym przeze mnie wyżej podstawieniem, bądź to sprowadzając do całki z pochodnej odpowiednio przeskalowanego i przesuniętego arcusa sinusa).
Różniczkujemy stronami równanie
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-2x-x^{2}}} \mbox{d}x=(ax+b) \sqrt{1-2x-x^{2}}+c \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-(x+1)^{2}}}}\), dostając
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{\sqrt{1-2x-x^{2}}}=a \sqrt{1-2x-x^{2}}- \frac{(x+1)(ax+b)}{ \sqrt{1-2x-x^{2}}}+ \frac{c}{\sqrt{1-2x-x^{2}}}}\) i z tego wyliczamy wartości stałych \(\displaystyle{ a,b,c}\), no i to chyba tyle.-- 8 wrz 2015, o 10:19 --Przepraszam, powinno być \(\displaystyle{ x+1=\sqrt{2}\sin t}\), ale pewnie się zorientowałaś.
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Całka niewymierna
A jak podadzić sobie z taką całką? Oczywiście interesuje mnie metoda inna niż standardowy Euler.
Metoda współczynników nieoznaczonych tutaj odpada.
\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}-2x+1}} \mbox{d}x}\)
Metoda współczynników nieoznaczonych tutaj odpada.
\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}-2x+1}} \mbox{d}x}\)
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całka niewymierna
Wrodzonymi zdolnościami lub wiedzą i doświadczeniem w rozwiązywaniu zadań.
Można też jakoś siermiężną metodą łączoną - najpierw przez części, a potem przez podstawienie:
\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}-2x+1}} \mbox{d}x= \int_{}^{}\left (- \frac{1}{x}\right)' \frac{x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+1}}\mbox{d}x=\\= \frac{-1+ \frac{1}{x} }{\sqrt{2x^{2}-2x+1}}+ \int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{2x^{2}-2x+1}- \frac{(x-1)(2x-1)}{\sqrt{2x^{2}-2x+1}} }{2x^{2}-2x+1} \mbox{d}x=\\=\frac{-1+ \frac{1}{x} }{\sqrt{2x^{2}-2x+1}}+3 \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x }{(2x^{2}-2x+1)^{\frac 3 2}}}\)
i w tej ostatniej całce podstawiamy np. \(\displaystyle{ 2x-1=\tg t}\). Dużo fajniej jest zgadnąć (tylko nie każdy umie) - oszczędność czasu.
Można też jakoś siermiężną metodą łączoną - najpierw przez części, a potem przez podstawienie:
\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}-2x+1}} \mbox{d}x= \int_{}^{}\left (- \frac{1}{x}\right)' \frac{x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+1}}\mbox{d}x=\\= \frac{-1+ \frac{1}{x} }{\sqrt{2x^{2}-2x+1}}+ \int_{}^{} \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{2x^{2}-2x+1}- \frac{(x-1)(2x-1)}{\sqrt{2x^{2}-2x+1}} }{2x^{2}-2x+1} \mbox{d}x=\\=\frac{-1+ \frac{1}{x} }{\sqrt{2x^{2}-2x+1}}+3 \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x }{(2x^{2}-2x+1)^{\frac 3 2}}}\)
i w tej ostatniej całce podstawiamy np. \(\displaystyle{ 2x-1=\tg t}\). Dużo fajniej jest zgadnąć (tylko nie każdy umie) - oszczędność czasu.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całka niewymierna
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-2x-x^{2}}} \mbox{d}x\\
=\int{\frac{x^2}{\sqrt{2-\left(x+1\right)^2}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{\left(x+1\right)^2-2\left(x+1\right)+1}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}-2\int{\frac{x+1}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }}}\\
\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+\int{ \sqrt{2-\left( x+1\right)^2 } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+\int{ \frac{2-\left( x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }\\
2\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+2\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}} \mbox{d}x } \\
\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}} \mbox{d}x } \\
=-2\int{\frac{x+1}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }}}\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{2-\left(x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+2\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+2\int{\frac{ \mbox{d}x }{2-\left( x+1\right)^2 }}\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{2-\left(x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x-3\right) \sqrt{1-2x-x^2} +\frac{2}{\sqrt{2}}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1-\left( \frac{x+1}{ \sqrt{2} } \right)^2 } } }\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-2x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x-3\right) \sqrt{1-2x-x^2} +2\arcsin{\left( \left( \frac{x+1}{2} \right) \sqrt{2} \right) }+C}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }}\)
W tej całce uwaga użytkownika
393704.htm#p5368191
okaże się przydatna
\(\displaystyle{ \int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }=\int{\frac{1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}-\int{\frac{1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}}}\\
\int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }=\int{\frac{1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}-\int{\frac{1-2x+2x^2-\left(-2x+2x^2\right)}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }\\
\int{\frac{-1}{x^2} \cdot \sqrt{2x^2-2x+1} }+\int{\frac{2x-1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }\\
=\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}}{x}-\int{\frac{2x-1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }+
\int{\frac{2x-1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }\\
=\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}}{x}+C}\)
Jest metoda współczynników nieoznaczonych do tych całek poza tym podstawienie
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\) sprowadzi całkę do postaci \(\displaystyle{ \int{\frac{W\left( t\right) }{\sqrt{at^2+bt+c}} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}-2x+1}} \mbox{d}x\\
t=\frac{1}{x}\\
\mbox{d}t=-\frac{ \mbox{d}x }{x^2}\\
=-\int{\frac{\frac{1-t}{t}}{\sqrt{\frac{2-2t+t^2}{t^2}} }\mbox{d}t}\\
=-\mathrm{sgn}\left( t\right) \int{\frac{1-t}{t} \cdot \frac{t}{ \sqrt{t^2-2t+2} } \mbox{d}t}\\
=-\mathrm{sgn}\left( t\right)\int{\frac{1-t}{\sqrt{t^2-2t+2}} \mbox{d}t}\\}\)
=\int{\frac{x^2}{\sqrt{2-\left(x+1\right)^2}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{\left(x+1\right)^2-2\left(x+1\right)+1}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}-2\int{\frac{x+1}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }}}\\
\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+\int{ \sqrt{2-\left( x+1\right)^2 } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+\int{ \frac{2-\left( x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }\\
2\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+2\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}} \mbox{d}x } \\
\int{\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}} \mbox{d}x } \\
=-2\int{\frac{x+1}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }} \mbox{d}x }+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{2-\left( x+1\right)^2 }}}\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{2-\left(x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x+1\right)\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+2\sqrt{2-\left( x+1\right)^2}+2\int{\frac{ \mbox{d}x }{2-\left( x+1\right)^2 }}\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{2-\left(x+1\right)^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x-3\right) \sqrt{1-2x-x^2} +\frac{2}{\sqrt{2}}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1-\left( \frac{x+1}{ \sqrt{2} } \right)^2 } } }\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-2x-x^2}}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\left( x-3\right) \sqrt{1-2x-x^2} +2\arcsin{\left( \left( \frac{x+1}{2} \right) \sqrt{2} \right) }+C}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }}\)
W tej całce uwaga użytkownika
393704.htm#p5368191
okaże się przydatna
\(\displaystyle{ \int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }=\int{\frac{1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}-\int{\frac{1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}}}\\
\int{\frac{x-1}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }=\int{\frac{1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}-\int{\frac{1-2x+2x^2-\left(-2x+2x^2\right)}{x^2\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }\\
\int{\frac{-1}{x^2} \cdot \sqrt{2x^2-2x+1} }+\int{\frac{2x-1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }\\
=\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}}{x}-\int{\frac{2x-1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }+
\int{\frac{2x-1}{x\sqrt{2x^2-2x+1}} \mbox{d}x }\\
=\frac{\sqrt{2x^2-2x+1}}{x}+C}\)
Jest metoda współczynników nieoznaczonych do tych całek poza tym podstawienie
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\) sprowadzi całkę do postaci \(\displaystyle{ \int{\frac{W\left( t\right) }{\sqrt{at^2+bt+c}} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}-2x+1}} \mbox{d}x\\
t=\frac{1}{x}\\
\mbox{d}t=-\frac{ \mbox{d}x }{x^2}\\
=-\int{\frac{\frac{1-t}{t}}{\sqrt{\frac{2-2t+t^2}{t^2}} }\mbox{d}t}\\
=-\mathrm{sgn}\left( t\right) \int{\frac{1-t}{t} \cdot \frac{t}{ \sqrt{t^2-2t+2} } \mbox{d}t}\\
=-\mathrm{sgn}\left( t\right)\int{\frac{1-t}{\sqrt{t^2-2t+2}} \mbox{d}t}\\}\)
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Całka niewymierna
mariuszm, po zastosowaniu tego podstawienia z metody współczynników nieoznaczonych wychodzi mi:
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{1-2x+2x^{2}}}{x} + \ln \left| \frac{1-x}{x} + \frac{\sqrt{1-2x+2x^{2}}}{x}\right|}\)
Czy ten wynik to to samo?
\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{1-2x+2x^{2}}}{x} + \ln \left| \frac{1-x}{x} + \frac{\sqrt{1-2x+2x^{2}}}{x}\right|}\)
Czy ten wynik to to samo?
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Całka niewymierna
Faktycznie, źle obliczyłam współczynnik przy \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}t }{\sqrt{t^{2}-2t+2}}}\). Teraz już widzę, że wychodzi zerowy.
-- 10 wrz 2015, o 20:24 --
Mam problem jeszcze z jedną bardzo podobną całką. Próbuje robić podobną metodą - przekształcać tak, aby potem policzyć całkę przez części.
\(\displaystyle{ \int \frac{ x \mbox{d}x }{(x-1)^{2} \sqrt{1+2x-x^{2}}}=
=\int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}} + \int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}=
=\int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}} + \int \frac{(1+2x-x^{2}-(2x-x^{2})) \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}=
=\int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}}+ \int \frac{\sqrt{1+2x-x^{2}} \mbox{d}x }{(x-1)^{2}} + \int \frac{x(x-2) \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}}\)
Teraz dla drugiej całki stosuję całkowanie przez części.
\(\displaystyle{ u=\sqrt{1+2x-x^{2}}, v'=\frac{1}{(x-1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}} + \int \frac{x(x-2) \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}} -\frac{\sqrt{1+2x-x^{2}}}{x-1} -\int \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1+2x-x^{2}}}}\)
Teraz utknęłam. Mogę połączyć jeszcze te trzy całki, które pozostały do policzenia, ale nie widzę, by to mi cos uprościło.
Otrzymam wtedy: \(\displaystyle{ \int \frac{ (x-2) \mbox{d}x }{(x-1)^{2} \sqrt{1+2x-x^{2}}}-\frac{\sqrt{1+2x-x^{2}}}{x-1}}\)
Co dalej?
-- 10 wrz 2015, o 20:24 --
Mam problem jeszcze z jedną bardzo podobną całką. Próbuje robić podobną metodą - przekształcać tak, aby potem policzyć całkę przez części.
\(\displaystyle{ \int \frac{ x \mbox{d}x }{(x-1)^{2} \sqrt{1+2x-x^{2}}}=
=\int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}} + \int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}=
=\int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}} + \int \frac{(1+2x-x^{2}-(2x-x^{2})) \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}=
=\int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}}+ \int \frac{\sqrt{1+2x-x^{2}} \mbox{d}x }{(x-1)^{2}} + \int \frac{x(x-2) \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}}\)
Teraz dla drugiej całki stosuję całkowanie przez części.
\(\displaystyle{ u=\sqrt{1+2x-x^{2}}, v'=\frac{1}{(x-1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{(x-1)\sqrt{1+2x-x^{2}}} + \int \frac{x(x-2) \mbox{d}x }{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}} -\frac{\sqrt{1+2x-x^{2}}}{x-1} -\int \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1+2x-x^{2}}}}\)
Teraz utknęłam. Mogę połączyć jeszcze te trzy całki, które pozostały do policzenia, ale nie widzę, by to mi cos uprościło.
Otrzymam wtedy: \(\displaystyle{ \int \frac{ (x-2) \mbox{d}x }{(x-1)^{2} \sqrt{1+2x-x^{2}}}-\frac{\sqrt{1+2x-x^{2}}}{x-1}}\)
Co dalej?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Całka niewymierna
Co dalej ?
Tutaj aby policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
wykorzystując całkowanie przez części dostajemy całkę zwrotną
którą należy przenieść na drugą stronę
Wobec powyższego w tej całce wygodniej będzie całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right) \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
policzyć osobno a na koniec dodać
Aby policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right) \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
należy podstawić za pierwiastek albo rozbić tę całkę na sumę całek tak
aby funkcje pierwotną można było zgadnąć
\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 } \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{x^2-2x+1 } \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{2-\left( 1+2x-x^2\right) } \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( 1+2x-x^2\right)-2} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}\int{\frac{\left(\sqrt{1+2x-x^2}+ \sqrt{2} \right)-\left(\sqrt{1+2x-x^2}- \sqrt{2} \right) }{\left( 1+2x-x^2\right)-2} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}\int{\frac{1}{\sqrt{1+2x-x^2}- \sqrt{2}} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }-\frac{ \sqrt{2} }{4}\int{\frac{1}{\sqrt{1+2x-x^2}+ \sqrt{2}} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
Twoje obliczenia są dobre ale mogą się przydać do policzenia całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
Tutaj aby policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
wykorzystując całkowanie przez części dostajemy całkę zwrotną
którą należy przenieść na drugą stronę
Wobec powyższego w tej całce wygodniej będzie całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right) \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
policzyć osobno a na koniec dodać
Aby policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right) \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
należy podstawić za pierwiastek albo rozbić tę całkę na sumę całek tak
aby funkcje pierwotną można było zgadnąć
\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 } \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{x^2-2x+1 } \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{2-\left( 1+2x-x^2\right) } \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( 1+2x-x^2\right)-2} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}\int{\frac{\left(\sqrt{1+2x-x^2}+ \sqrt{2} \right)-\left(\sqrt{1+2x-x^2}- \sqrt{2} \right) }{\left( 1+2x-x^2\right)-2} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{4}\int{\frac{1}{\sqrt{1+2x-x^2}- \sqrt{2}} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }-\frac{ \sqrt{2} }{4}\int{\frac{1}{\sqrt{1+2x-x^2}+ \sqrt{2}} \cdot \frac{1-x}{ \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)
Twoje obliczenia są dobre ale mogą się przydać do policzenia całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\left( x-1\right)^2 \sqrt{1+2x-x^2} } \mbox{d}x }}\)