Całka nieoznaczona

[Thynr]

Cześć,
otóż mam problem z całką \(\displaystyle{ \int (x^{2} +1) e^{-2x} dx}\). Według Wolphrama wynik winien być: \(\displaystyle{ - \frac {1} {4} e^{-2x} (2x^{2}+2x+3)}\). Oto jak liczyłem:

\(\displaystyle{ \int (x^{2} +1) e^{-2x} dx =}\) podstawiam-> t=-2x wychodzi \(\displaystyle{ -\frac {dt} {2}=dx}\). Wychodzę na: \(\displaystyle{ -\frac {1}{2} \int (x^{2} +1) e^{t}dt}\) . Potem przez części:
\(\displaystyle{ u= x^{2} +1 \\ u'= 2x}\) oraz \(\displaystyle{ v'= e^{t} \\ v= e^{t}}\). Wychodzi: \(\displaystyle{ -\frac {1}{2} [(x^{2} +1) e^{t}] - 2 \int xe^{t} dx}\). Znowu przez części:

\(\displaystyle{ u= x \\ u'= 1}\) i \(\displaystyle{ v'= e^{t} \\ v= e^{t}}\). Co daje:
\(\displaystyle{ -\frac {1}{2} [(x^{2} +1) e^{t}] - 2 [xe^{t}- e^{t}]= -\frac {1}{2} [(x^{2} +1) e^{t}] - 2 [xe^{t}- e^{t}]= -\frac {1}{2} [(x^{2} +1) e^{t}] - 2e^{t} (x-1) = e^{t} (-\frac {1} {2} x^{2} -2x + \frac {3} {2})}\)

Pozdrawiam!

[Nakahed90]

Nie możesz tak liczyć. Jeżeli dokonujesz podstawienia, \(\displaystyle{ t=-2x}\), to wszystkie "x" musisz wyrazić za pomocą "t", tzn. otrzymujesz wtedy całkę:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int \left(\frac{t^2}{4}+1\right)e^{t}dt}\)

[Poszukujaca]

Poza tym na końcu musisz cofnąć się z podstawieniem. Nie możesz w wyniku zostawić dwóch zmiennych.

[Thynr]

Dzięki za odpowiedzi.

@Nahaked90 Czy tą metodę z wyrażaniem 'x' za pomocą 't' stosuje się do całek tego typu, gdzie masz tą samą zmienną różnych stopni, np. \(\displaystyle{ \int 2x^{3} +x^{2}}\) ?

@Poszukujaca Dziękuje za czujność

[Nakahed90]

Nie za bardzo rozumiem Twoje pytanie, tzn. o co chodzi z tymi stopniami. Ogólnie jeżeli masz całkę
\(\displaystyle{ \int f(x)dx}\) i dokonujesz podstawienia podstawienia \(\displaystyle{ t=g(x)}\), to tak jak pisałem wyżej, tzn. wszystkie "x" musisz zamienić na "t".

[Thynr]

Chodzi mi o to, kiedy się to podstawienie stosuje, przy jakich całkach

[Nakahed90]

Ciężko jest podać odpowiedź na to pytanie, bo poza kilkoma postaciami całek, w których stosuje się konkretne podstawienia (m.in. całk wymienione w I), to nie istnieją żadne prawidła kiedy i jakie stosować podstawienie, a przynajmniej nie da się ich w zwartej formie podać. W przypadku liczenia całek wszystko zależy od ilości przerobionych całek - im większą ich ilość przerobisz, tym łatwiej będzie Ci wyczuć czy i jakie podstawienie stosować (bo nie zawsze da się liczyć przez podstawianie, a także często istnieją lepsze metody).


I.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82kowanie_przez_podstawienie

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ F\left( x\right)=\left( Ax^2+Bx+C\right)e^{-2x}\\
\left(\left( Ax^2+Bx+C\right)e^{-2x} \right)'=\left( x^2+1\right)e^{-2x}\\
\left( 2Ax+B\right)e^{-2x}-2\left( Ax^2+Bx+C\right)e^{-2x} =\left( x^2+1\right)e^{-2x}\\
\left( 2Ax+B\right)-2\left( Ax^2+Bx+C\right)=\left( x^2+1\right)\\
-2Ax^2+\left( 2A-2B\right)+\left( B-2C\right)= x^2+1\\
\begin{cases} -2A=1 \\ 2A-2B=0\\B-2C=1 \end{cases} \\
\begin{cases} A=-\frac{1}{2} \\ B=A\\C=\frac{1}{2}\left( B-1\right) \end{cases}\\
\begin{cases} A=-\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2}\\C=-\frac{3}{4} \end{cases}\\
\int{\left( x^2+1\right)e^{-2x} \mbox{d}x } =-\frac{1}{4}\left(2x^2+2x+3\right)e^{-2x}+C\\}\)


Do całek postaci

\(\displaystyle{ \int{R\left( x, \sqrt{ax^2+bx+c} \right) \mbox{d}x }}\)

stosujesz podstawienia

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{ax^2+bx+c}=t- \sqrt{a}x \qquad a>0 \\ \sqrt{ax^2+bx+c}=xt- \sqrt{c} \qquad c>0 \\ \sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x-x_{1}\right)t \qquad b^2-4ac>0 \end{cases}}\)

Do całek postaci

\(\displaystyle{ \int{x^{m}\left( a+b^n\right)^{p} \mbox{d}x}}\)

stosujesz podstawienia


\(\displaystyle{ t^{\mathrm{nww}(m,n)}=x \qquad p\in \mathbb{Z}\\
t^{s}=a+bx^n\qquad \frac{m+1}{n}\in \mathbb{Z} \qquad p=\frac{r}{s}\\
t^{s}=b+\frac{a}{x^n}\qquad \frac{m+1}{n}+p\in \mathbb{Z} \qquad p=\frac{r}{s}\\}\)

Do całek postaci

\(\displaystyle{ \int{R\left( x, \sqrt[ \alpha ]{\frac{ax+b}{cx+d}} ,\sqrt[ \beta ]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) \mbox{d}x }}\)

stosujesz podstawienia

\(\displaystyle{ t^{\mathrm{nww}\left( \alpha , \beta \right) }=\frac{ax+b}{cx+d}\\}\)


Do całek postaci

\(\displaystyle{ \int{R\left( \sin{x},\cos{x}\right) \mbox{d}x }}\)

stosujesz jedno z podstawień

\(\displaystyle{ t= \frac{a \cdot \tan{\left( \frac{x}{2} \right) }+b}{c \cdot \tan{\left( \frac{x}{2} \right) }+d} \qquad \det{ \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} }\neq 0}\)

Do całek postaci
\(\displaystyle{ \int{R\left( e^{cx}\right) \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{R\left( \sinh{x},\cosh{x}\right) \mbox{d}x }}\)

stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ t=e^{x}}\)