całka

[bartek87]

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{(\cos x)^3}{1+e^x}}\)

[luka52]

Podejrzewam, że całka nieoznczona jest nieelementarna, więc oznaczoną obliczysz jedynie numerycznie.

[bartek87]

a właśnie że nie... jest sposób

[g]

kazda funkcje mozna rozbic na sume funkcji parzystej i nieparzystej. calka z tej nieparzystej bedzie naturalnie 0, wiec wystarczy policzyc calke z czesci parzstej. a czesc parzysta to \(\displaystyle{ {f(x) + f(-x) \over 2}}\).

[bartek87]

dla ambitnych podpowiem że najpierw trzeba zrobić podstawienie \(\displaystyle{ x=-t}\)
gościu dał nam to na collosie no i podsumował to tak: "w tym zadaniu ja byłem sprite'm a państwo pragnieniem, czyli pragnienie nie ma szans"

[max]

najpierw trzeba zrobić podstawienie \(\displaystyle{ x=-t}\)

Niekoniecznie:
W myśl tego co napisał g mamy:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} + \frac{f(-x) + f(x)}{2}}\)
Pierwszy składnik jest funkcją nieparzystą, więc całka z niego wynosi 0.
Drugi składnik dla \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\cos^{3}x}{1 + e^{x}}}\) jest równy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\cos^{3}x}{1 + e^{x}} + \frac{\cos^{3}(-x)}{1 + e^{-x}}}{2} = \frac{(1 + e^{x})\cos^{3}x}{2(1+e^{x}) } = \frac{(1 - \sin^{2}x)\cos x}{2}}\)
całka nieoznaczona z tego to:
\(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}\sin x - \tfrac{1}{6}\sin^{3}x + C}\)
więc szukana całka oznaczona ma wartość \(\displaystyle{ 0}\)