Cześć mam pytanie.
Jak obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{ e^{-a x^{2} }- \cos \left( bx \right) }{ x^{2} }dx}\)? gdzie \(\displaystyle{ a>0}\), \(\displaystyle{ b}\) dowolne
Proszę o podpowiedź
Problem z całką nieoznaczoną
-
Matiks21
- Użytkownik
- Posty: 562
- Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 98 razy
Problem z całką nieoznaczoną
Ostatnio zmieniony 25 mar 2015, o 23:47 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Problem z całką nieoznaczoną
całka różnicy = różnica całek..
Później pewnie całkowanie przez części..
Później pewnie całkowanie przez części..
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Problem z całką nieoznaczoną
Łomatko, jeśli masz to liczyć, a nie np. badać zbieżność, to chyba nie jest to za łatwe...
A może policz nieoznaczoną, rozwijając \(\displaystyle{ e^{-ax^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(bx)}\) w szeregi, wykonaj to dzielenie (przy okazji skrócą sie pierwszy wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ e^{-ax^{2}}}\) z pierwszym wyrazem rozwiniecia tego cosinusa, a to nam bardzo na rękę), scałkuj wyraz po wyrazie, zwiń to, co otrzymasz, a dalej wstaw granice całkowania i policz odpowiednie granice? Ale nawet nie wiem, czy tak można. Niby te szeregi są jednostajnie zbieżne na \(\displaystyle{ \RR}\) itd. ale czy to starczy...
ALE bardzo bym prosił, by ktoś mądrzejszy się wypowiedział co do sensowności tego pomysłu, bo boję się, że gdzieś tu tkwi poważny błąd/nadużycie.
A może policz nieoznaczoną, rozwijając \(\displaystyle{ e^{-ax^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(bx)}\) w szeregi, wykonaj to dzielenie (przy okazji skrócą sie pierwszy wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ e^{-ax^{2}}}\) z pierwszym wyrazem rozwiniecia tego cosinusa, a to nam bardzo na rękę), scałkuj wyraz po wyrazie, zwiń to, co otrzymasz, a dalej wstaw granice całkowania i policz odpowiednie granice? Ale nawet nie wiem, czy tak można. Niby te szeregi są jednostajnie zbieżne na \(\displaystyle{ \RR}\) itd. ale czy to starczy...
ALE bardzo bym prosił, by ktoś mądrzejszy się wypowiedział co do sensowności tego pomysłu, bo boję się, że gdzieś tu tkwi poważny błąd/nadużycie.
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Problem z całką nieoznaczoną
Strasznie zagmatwane ;p
Dawno nie całkowałem więc pewnie gdzieś coś spieprze
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{ e^{-a x^{2} }- \cos \left( bx \right) }{ x^{2} }dx=\int_{0}^{ \infty }\frac{e^{-ax^2}}{x^2}dx-\int_{0}^{ \infty }\frac{\cos{(bx)}}{x^2}= -\frac{e^{-ax^2}}{x}\Bigg|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{ \infty } \frac{-2axe^{-ax^2}}{x}dx-\left( -\frac{\cos{(bx)}}{x}\Bigg|_{0}^{\infty}- \int_{0}^{ \infty } \frac{b\sin{(bx)}}{x}dx\right)}\)
Może z tego coś rozgryziecie dalej
Dawno nie całkowałem więc pewnie gdzieś coś spieprze
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{ e^{-a x^{2} }- \cos \left( bx \right) }{ x^{2} }dx=\int_{0}^{ \infty }\frac{e^{-ax^2}}{x^2}dx-\int_{0}^{ \infty }\frac{\cos{(bx)}}{x^2}= -\frac{e^{-ax^2}}{x}\Bigg|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{ \infty } \frac{-2axe^{-ax^2}}{x}dx-\left( -\frac{\cos{(bx)}}{x}\Bigg|_{0}^{\infty}- \int_{0}^{ \infty } \frac{b\sin{(bx)}}{x}dx\right)}\)
Może z tego coś rozgryziecie dalej
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5736
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Problem z całką nieoznaczoną
Ja to pójdę po skrótach i przyjmę sobie, że:
\(\displaystyle{ a=b=1}\) ponieważ dziś mam naturę leniwie wiosenną.
Przedstawię szkic:
obliczymy całkę nieoznaczoną najpierw:
\(\displaystyle{ I= \int \frac{e^{-x^2}-\cos x}{x^2}dx=\int \frac{e^{-x^2}}{x^2}dx-\int \frac{\cos x}{x^2}dx}\)
łatwo przez części policzyć poszczególne całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-x^2}}{x^2}dx=- \frac{e^{-x^2}}{x}-2\int e^{-x^2}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\cos x}{x^2}dx=- \frac{\cos x}{x}-\int \frac{\sin x}{x}dx}\)
reasumując:
\(\displaystyle{ I=\int \frac{\sin x}{x}dx-2\int e^{-x^2}dx + \frac{\cos x-e^{-x^2}}{x}}\)
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\sin x}{x}dx= \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-x^2}dx= \frac{ \sqrt{\pi} }{2}}\)
Ostatnia suma dąży do zera.
To tak mniej więcej powinno to wyglądać, przejście do dowolnego a i b nie nastręczy trudności!
\(\displaystyle{ a=b=1}\) ponieważ dziś mam naturę leniwie wiosenną.
Przedstawię szkic:
obliczymy całkę nieoznaczoną najpierw:
\(\displaystyle{ I= \int \frac{e^{-x^2}-\cos x}{x^2}dx=\int \frac{e^{-x^2}}{x^2}dx-\int \frac{\cos x}{x^2}dx}\)
łatwo przez części policzyć poszczególne całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-x^2}}{x^2}dx=- \frac{e^{-x^2}}{x}-2\int e^{-x^2}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\cos x}{x^2}dx=- \frac{\cos x}{x}-\int \frac{\sin x}{x}dx}\)
reasumując:
\(\displaystyle{ I=\int \frac{\sin x}{x}dx-2\int e^{-x^2}dx + \frac{\cos x-e^{-x^2}}{x}}\)
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\sin x}{x}dx= \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-x^2}dx= \frac{ \sqrt{\pi} }{2}}\)
Ostatnia suma dąży do zera.
To tak mniej więcej powinno to wyglądać, przejście do dowolnego a i b nie nastręczy trudności!