Całka z odwrotności sinusa

[bybue]

Hejo jak policzyc calke:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin x} dx}\)
nie interesuje mnie uniwersalne podstawienie.


edit od razu sobie pomyslalem o podstawieniu:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{t} dt}\) ale dalej to nie wychodzi dlaczego nie mozna stosowac takiego podstawienia?

[musialmi]

edit od razu sobie pomyslalem o podstawieniu:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{t} dt}\) ale dalej to nie wychodzi dlaczego nie mozna stosowac takiego podstawienia?

Bo twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie mówi: wstaw sobie nową zmienną, ale pomnóż też przez odpowiednią pochodną. A ty przez pochodną nie pomnożyłeś.

[bybue]

Oke
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin x}dx = \left| t= \frac{1}{2}x
dt = \frac{1}{2}dx \right| = \int_{}^{} \frac{1}{\sin 2t} \cdot 2dt = \int_{}^{} \frac{dt}{\sin t \cdot \cos t} = ???}\)
i co dalej? jakos chcialoby sie tutaj miec \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{A'}{A} dA = \ln |A| + C}\)
ale nie wiem jak help.

[MichalPWr]

Nie trzeba używać podstawienia uniwersalnego:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{\sin x dx}{\sin x \cdot \sin x} =\int \frac{\sin x dx}{1-\cos^2 x}=\begin{vmatrix} \cos x =t \\ -\sin x dx=dt\end{vmatrix}=-\int \frac{dt}{\left( 1-t\right) \cdot \left( 1+t\right)}=}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}\left( \int \frac{dt}{t+1} -\int \frac{dt}{t-1} \right)dt=- \frac{1}{2}\left( \ln \left| \cos x +1\right| -\ln \left| \cos x -1\right| \right)+C}\)

[Mariusz M]

Oke
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin x}dx = \left| t= \frac{1}{2}x
dt = \frac{1}{2}dx \right| = \int_{}^{} \frac{1}{\sin 2t} \cdot 2dt = \int_{}^{} \frac{dt}{\sin t \cdot \cos t} = ???}\)
i co dalej? jakos chcialoby sie tutaj miec \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{A'}{A} dA = \ln |A| + C}\)
ale nie wiem jak help.

Przedstaw licznik w postaci jedynki trygonometrycznej a powinno ci się co nieco poskracać

MichalPWr, przedstawił alternatywę dla podstawienia uniwersalnego
Twój pomysł niewiele się różni od podstawienia którego chciałeś uniknąć