Całka podwójna

[pavel232]

Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \iint_{D}^{}\text{sgn} (x ^{2}-y ^{2}+2)}\) gdy \(\displaystyle{ D:\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:x ^{2}+y ^{2} \le 4 \right\}}\). Otrzymam trzy całki. Dwie będą z \(\displaystyle{ -1}\)(będzie to górna i dolna część koła, które ogranicza wykres \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+2=0}\). Trzecia to całka z \(\displaystyle{ 1}\) po pozostałej części obszaru \(\displaystyle{ D}\). Zastanawiam się czy jak liczę w tych przypadkach całki z \(\displaystyle{ -1}\) czy \(\displaystyle{ 1}\), to czy nie mogę po prostu policzyć pola tych obszarów? Bo można przecież policzyć normalnie te całki, ale to chyba bardziej skomplikowane by było. Niestety nie wiem jak policzyć pola tych dwóch mniejszych obszarów.

[VillagerMTV]

Nie wiem czy Cię dobrze rozumiem i czy na pewno dobrze napiszę, ale:
\(\displaystyle{ sgn}\) będzie albo \(\displaystyle{ 0}\), albo \(\displaystyle{ 1}\), albo \(\displaystyle{ -1}\). Całka z \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ 0}\), więc omijasz.
A jak liczysz całkę z \(\displaystyle{ 1}\) to liczysz objętość tego \(\displaystyle{ D}\) o wysokości \(\displaystyle{ 1}\), czyli tak naprawdę pole. Reasumując jak wyznaczysz takie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), gdzie daje \(\displaystyle{ 1}\) to na tym obszarze liczysz miarę tego zbioru

[octahedron]

\(\displaystyle{ x^2-y^2+2=x^2+y^2-4\,\Rightarrow\,x=\pm 1,\,y=\pm\sqrt{3}\\
\iint\limits_D\text{sgn}(x^2-y^2+2)\,dx\,dy=\iint\limits_D 1\,dx\,dy+4\int\limits_0^1\int\limits_{\sqrt{x^2+2}}^{\sqrt{4-x^2}}-2\,dy\,dx=\\
=4\pi-8\int\limits_0^1\sqrt{4-x^2}-\sqrt{x^2+2}\,dx=...}\)

[SlotaWoj]

Można obliczyć pola kawałkami i zsumować, ale trzeba mieć wzór na pole odcinka hiperboli.

Ta trzecia całka to suma dwóch jednakowych pól odcinków koła, dla \(\displaystyle{ x\in\left(-2;\ -1\right)}\) i \(\displaystyle{ x\in\left(1;\ 2\right)}\) oraz całka: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \sqrt{x^2+2}\ dx}\) .