Uzasadnij nierówność

[zjm2014]

Mam za zadanie uzasadnić następującą nierówność :
\(\displaystyle{ \frac{2}{e} \le \int_{0}^{2} e^{-2x + x^{2}} dx \le 2}\)

Czy da to się jakoś fajnie zrobić bez obliczania całki?

[szw1710]

Zastosuj nierówność Hermite'a-Hadamarda sprawdzając wcześniej potrzebne założenia.

[zjm2014]

Druga pochodna jest dodatnia na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2\right\rangle}\)

Z nierówności Hermite'a-Hadamarda:

\(\displaystyle{ \frac{1}{e} \le \frac{1}{2} \int_{0}^{2}e^{-2x+x^{2}}dx \le 1}\)

Rzeczywiście z tej nierówności to wychodzi.

A czy dałoby radę obliczyć to jakoś gdybym tej nierówności nie znał? Bo znając życie gdybym z niej skorzystał to musiałbym ją udowodnić dowodem i mógłby być problem.

Podpowiedz do tego zadania mam aby skorzystać z Tw o wartości śr rachunku całkowego ale nie wiem jak

[szw1710]

Nierówność Hermite'a-Hadamarda dowodzi się łatwo:

\(\displaystyle{ 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le f\bigl((ta+(1-t)b\bigr)+f\bigl((tb+(1-t)a\bigr)\le f(a)+f(b)}\),

co wynika natychmiast z wypukłości funkcji (środkowa nierówność zachodzi, bo te dwa punkty mają tę samą średnią arytmetyczną, co \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) i wystarczy zastosować nierówność Jensena. Teraz wystarczy to scałkować po \(\displaystyle{ t}\) w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\).