Dzień dobry,
Chciałbym prosić Was o pomoc przy obliczeniu następującej całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{2 \sqrt{\pi }}e^{-\frac{x^2}{4}}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Obliczyć całkę nieoznaczoną.
-
Jelon
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 6 sty 2014, o 21:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 37 razy
Obliczyć całkę nieoznaczoną.
to całka nieelementarna. Można ją policzyć korzystając z całki podwójnej i przechodząc na wsp. biegunowe. Ewentualnie rozwijając w szereg i całkując szereg pewnie
-
adri@n
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Obliczyć całkę nieoznaczoną.
Gouranga, tak, tak, wiem, reszta sprawia problemy
Jelon, w zasadzie, to mam wyliczyć tą całkę po \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Będę miał zatem
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{x^2}{4}}dx=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{2\pi}e^{-\frac{r^2cos^2\alpha}{4}}d\alpha dr}\)
Zgadza się?
Jelon, w zasadzie, to mam wyliczyć tą całkę po \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Będę miał zatem
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{x^2}{4}}dx=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{2\pi}e^{-\frac{r^2cos^2\alpha}{4}}d\alpha dr}\)
Zgadza się?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Obliczyć całkę nieoznaczoną.
No jeszcze zapomniałeś o jakobianie odwzorowania.
Masz:
\(\displaystyle{ x=r\cos \alpha \\
y=r\sin \alpha}\)
A zatem musisz pomnożyć f. podcałkową przez moduł wyznacznika macierzy Jacobiego tego odwzorowania, tj.
\(\displaystyle{ \left| \det \left[\begin{array}{cc} \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}r } & \frac{\mbox{d}x }{ \mbox{d}\alpha }\\ \frac{\mbox{d}y }{ \mbox{d}r }&\frac{\mbox{d}y }{ \mbox{d}\alpha }\end{array}\right]\right|}\) (głupio to wygląda, dość, że chodziło o pochodne cząstkowe).
Wiesz, ile to będzie?
Masz:
\(\displaystyle{ x=r\cos \alpha \\
y=r\sin \alpha}\)
A zatem musisz pomnożyć f. podcałkową przez moduł wyznacznika macierzy Jacobiego tego odwzorowania, tj.
\(\displaystyle{ \left| \det \left[\begin{array}{cc} \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}r } & \frac{\mbox{d}x }{ \mbox{d}\alpha }\\ \frac{\mbox{d}y }{ \mbox{d}r }&\frac{\mbox{d}y }{ \mbox{d}\alpha }\end{array}\right]\right|}\) (głupio to wygląda, dość, że chodziło o pochodne cząstkowe).
Wiesz, ile to będzie?
-
adri@n
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Obliczyć całkę nieoznaczoną.
Ok, już wiem jak to zrobić.
Bardzo dziękuję
Swoją drogą, jak na "trywialną" całeczkę, to jest przy niej roboty, tym bardziej, że to dopiero wstęp do całego zadania...
-- 13 lut 2015, o 11:58 --
Wracam jeszcze raz do tematu.
O ile z tamtą całką dałem sobie radę, o tyle z tą mam znów problem:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\sqrt{x^2+y^2}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy}\)
Rozwiązuję to następująco:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\sqrt{x^2+y^2}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}r^2\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}drd\alpha = ...}\)
Nie kończę, ponieważ w odpowiedzi którą mam do tego zadania jest ta całka rozpisana następująco:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\sqrt{x^2+y^2}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}r^2\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}drd\alpha \cdot \int_{0}^{\infty}r^2e^{-\frac{r^2}{2}}dr}\)
I tu pojawia się moje pytanie, skąd się wziął poniżej napisany czynnik?
\(\displaystyle{ ... \cdot \int_{0}^{\infty}r^2e^{-\frac{r^2}{2}}dr}\) ?
-- 13 lut 2015, o 12:01 --
Proszę o wybaczenie, ale po doklejeniu do starego postu nie było możliwości edycji. W trzecim równaniu po wyciągnięciu \(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}}\) przed całkę oczywiście nie ma tego ułamka pod całką.
Bardzo dziękuję
Swoją drogą, jak na "trywialną" całeczkę, to jest przy niej roboty, tym bardziej, że to dopiero wstęp do całego zadania...
-- 13 lut 2015, o 11:58 --
Wracam jeszcze raz do tematu.
O ile z tamtą całką dałem sobie radę, o tyle z tą mam znów problem:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\sqrt{x^2+y^2}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy}\)
Rozwiązuję to następująco:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\sqrt{x^2+y^2}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}r^2\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}drd\alpha = ...}\)
Nie kończę, ponieważ w odpowiedzi którą mam do tego zadania jest ta całka rozpisana następująco:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\sqrt{x^2+y^2}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}r^2\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}drd\alpha \cdot \int_{0}^{\infty}r^2e^{-\frac{r^2}{2}}dr}\)
I tu pojawia się moje pytanie, skąd się wziął poniżej napisany czynnik?
\(\displaystyle{ ... \cdot \int_{0}^{\infty}r^2e^{-\frac{r^2}{2}}dr}\) ?
-- 13 lut 2015, o 12:01 --
Proszę o wybaczenie, ale po doklejeniu do starego postu nie było możliwości edycji. W trzecim równaniu po wyciągnięciu \(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}}\) przed całkę oczywiście nie ma tego ułamka pod całką.