Badanie zbieżności całki

[rewrite_93]

Zbadać zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_{\frac{1}{3}}^{\infty} \arctan{(3x)}(\sqrt{9x^{2}+1}-3x)dx}\)
Oszacowuję w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \arctan{(3x)}(\sqrt{9x^{2}+1}-3x) \ge \frac{\pi}{4}(\sqrt{9x^{2}+1}-3x) \ge \frac{\pi}{4}(\sqrt{4x^{2}}-3x) \ge \frac{\pi}{4}(2x-3x) \ge \\ \ge -\frac{\pi}{4}x}\)

Po obliczeniu wychodzi, że całka \(\displaystyle{ \int_{\frac{1}{3}}^{\infty} -\frac{\pi}{4}xdx}\) jest rozbieżna do \(\displaystyle{ +\infty}\), więc na mocy kryterium porównawczego całka początkowa jest rozbieżna.

Czy to jest poprawnie?

[Dasio11]

Po obliczeniu wychodzi, że całka \(\displaystyle{ \int_{\frac{1}{3}}^{\infty} -\frac{\pi}{4} x \, \dd x}\) jest rozbieżna do \(\displaystyle{ +\infty}\), więc na mocy kryterium porównawczego całka początkowa jest rozbieżna.

Ta całka jest rozbieżna do \(\displaystyle{ -\infty}\) - funkcja \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} \cdot x}\) nie osiąga nawet dodatnich wartości na przedziale całkowania.

Trzeba najpierw przekształcić:

\(\displaystyle{ { \sqrt{9x^2+1}-3x = \frac{ \left( \sqrt{9x^2+1}-3x \right) \left( \sqrt{9x^2+1}+3x \right) }{ \sqrt{9x^2+1}+3x } = \frac{ \sqrt{9x^2+1}^2 - (3x)^2 }{ \sqrt{9x^2+1}+3x } = \frac{1}{ \sqrt{9x^2+1}+3x } }}\)

a potem jakoś oszacować.

[rewrite_93]

Czyli wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}\frac{1}{ \sqrt{9x^2+1}+3x }}\)
Ale nie mam pomysłu jak to dalej oszacować...

[Premislav]

Np. tak:
zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{9x^2+1}+3x } \ge \frac{1}{6x+1}}\)