Całka podwójna ze zamianą na zmienne biegunowe

[tadu983]

Mam policzyć całkę zamieniając zmienne na biegunowe. Wydaje mi się że robię to dobrze ale wychodzi mi inny wynik niż w książce,
\(\displaystyle{ \iint\limits_G x^2+4y-9 \, dx\,dy}\)
\(\displaystyle{ G=\{x^2+y^2 \le 4\}}\)
Zamieniając zmiene mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{2} r(r^2 \cos^2 \varphi +4r \sin \varphi - 9) \mbox{d}r = \int_{0}^{2 \pi} \mbox{d}\varphi [ \frac{r^4}{4}\cos^2 \varphi + \frac{4}{3} r^3 \sin \varphi - \frac{9r^2}{2}]|^{2}_{0} = \int_{0}^{2\pi} [4\cos^2 \varphi+ \frac{32}{3} \sin \varphi -18]\mbox{d}\varphi = 4[ \frac{1}{2} (\varphi+ cos\varphi sin \varphi)]\left|^{2\pi}_{0}+ \frac{32}{3}[-cos \varphi ]\left|^{2\pi}_{0} -[18\varphi ]\left|^{2\pi}_{0}= - 32\pi}\)
natomiast w książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ 56\pi}\).No i niestety nie umiem wyczaić gdzie jest błąd.

[Lbubsazob]

Twój wynik jest poprawny.

[tadu983]

No mi się też wydaje, że nie zrobiłem błędu no ale to jest wynik z książki Leitnera Zadania z matematyki wyższej. Myślisz, że zrobiliby tam taki błąd?

[Teson]

W takich sytuacjach warto sprawdzić to np. na wolframie:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integration+[%2F%2Fmath%3A%28%28r^2%28cosphi%29^2%29%2B4r%28sinphi%29-9%29%29*r%2F%2F]+[%2F%2Fmath%3Adr+dphi%2F%2F]+for+r+from+[%2F%2Fmath%3A0%2F%2F]+to+[%2F%2Fmath%3A2%2F%2F]+for+phi+from+[%2F%2Fmath%3A0%2F%2F]+to+[%2F%2Fmath%3A2pi%2F%2F]

Wynik zgadza się z Twoim. Więc możliwości są dwie:
1) Przepisałeś źle przykład
2) Błąd w książce

[tadu983]

Masakra. Źle przepisałem zadanie. Powinno być \(\displaystyle{ +9}\) a nie\(\displaystyle{ -9}\).