Strumień wektora przez płat paraboloidy

[tadu983]

Obliczyć strumień wektora \(\displaystyle{ F=[3x,-y,z]}\) przez płat paraboloidy \(\displaystyle{ z= 9-x^2-y^2}\), \(\displaystyle{ z \ge 0}\) zorientowany zgodnie z osią \(\displaystyle{ Oz}\).
Mam wzór taki:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \varepsilon \iint\limits_{(G)} [-X(x,y,z(x,y))z_{x}-Y(x,y,z(x,y))z_{y}+Z(x,y,z(x,y))] \, dx\,dy}\), gdzie\(\displaystyle{ F=[X,Y,Z]}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon=\{-1,+1\}}\)
i taki
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \varepsilon \iint\limits_{( \Omega)} (X \cos \varphi +Y \sin \varphi)r \, d\varphi \,dz}\)
Płat paraboloidy zorientowany jest dodatnio czyli \(\displaystyle{ \varepsilon =1}\). Najpierw rzutuję paraboloidę na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\) i dostaję w wyniku tego koło \(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\). Mógłbym policzyć to za pomocą pierwszego wzoru ale tam dostaję całkę w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{9-x^2}}\) i zastanawiam się czy nie można łatwiej za pomocą tego drugiego wzoru tylko że tam zmienną jest \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\)a powinno być chyba \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\) aby móc go zastosować. Proszę o pomoc.-- 15 lip 2014, o 15:00 --Chciałem się zapytać czy ta całka ta całka we wsp prostokątnych powinna być zapisana tak:

\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \int_{-3}^{3} \mbox{d}x \int_{ -\sqrt{9-x^2} }^{\sqrt{9-x^2}}[(-3x)(-2x)+y(-2y)+9-x^2-y^2] \mbox{d}y = \int_{-3}^{3} \mbox{d}x \int_{ -\sqrt{9-x^2} }^{\sqrt{9-x^2}}[5x^2-3y^2+9] \mbox{d}y}\)
i jeszcze raz zapytać to czy można tą całkę zapisać za pomocą tego drugiego wzoru.

[janusz47]

Zapisujemy wektor pola w postaci formy różniczkowej
\(\displaystyle{ \omega^{2}F= 3xdy \wedge dz- ydz \wedge dx+zdx \wedge dy.}\)

Strumień wektora pola przez powierzchnię
\(\displaystyle{ F = \int_S \omega^{2}F = \epsilon \int_{I}\kappa^{*}(\omega^{2}F).}\)

Forma \(\displaystyle{ \omega^{2}F}\) zdefiniowana jest w \(\displaystyle{ R^{3}.}\) Żeby ją scałkować po powierzchni\(\displaystyle{ S}\) należy ją najpierw obciąć do tej powierzchni.
W tym celu zapisujemy włożenie
\(\displaystyle{ \kappa: S \rightarrow R^{3}}\) we współrzędnych biegunowych
\(\displaystyle{ \kappa(\phi, r)= \left( r\cos(\phi), r\sin(\phi), 9 - r^{2}\right)}\)
z orientacją zadaną przez bazę wektorów \(\displaystyle{ \left[\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \phi}\right].}\)

Obcięcie formy do powierzchni paraboloidy realizuje się jako pull-back za pomocą włożenia
\(\displaystyle{ \kappa^{*}\omega^{2} F(\phi, r)=\left | \begin{array}{ccc}3r\cos(\phi)&-r\sin(\phi)&9-r^2\\
-3r\sin(\phi)&-r\cos(\phi)&0\\ 3\cos(\phi)&-\sin(\phi)&-2r\end{array}\right| d\phi \wedge dr= (3r^{3}-27r )d\phi \wedge dr =(27r -3r^{3})dr\wedge d\phi}\)

\(\displaystyle{ F = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}(27r- 3r^{3})d\phi dr = 2\pi \left[\frac{27r^{2}}{2}-\frac{3r^{4}}{4}\right]_{0}^{3} =\frac{243}{2}\pi.}\)

[tadu983]

Nie bardzo kumam terminologię której używasz (np. pull-back czy włożenie) ale sam sens liczenia całki jest dla mnie jasny. Z tym że jeżeli liczę kolejny strumień wektora \(\displaystyle{ F=[y,-2x,-z]}\) przez półsferę \(\displaystyle{ z= \sqrt{ 4-x^2-y^2}}\), \(\displaystyle{ z \ge 0}\) zorientowaną na zewnątrz to wychodzi mi wynik inny niż w książce.
Mianowicie:

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccc}r\sin(\phi)&-2r\cos(\phi)& -\sqrt{ 4-r^2}\\ r\cos(\phi)&2r\sin(\phi)&0\\ \sin(\phi)&-2\cos(\phi)& \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } \end{array}\right|= \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} - 2r \sqrt{4-r^2}}\)

\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\phi \int_{0}^{2}\left( \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} - 2r \sqrt{4-r^2}\right) \mbox{d}r = 2\pi \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{4-r^2}(r^2-8) + \frac{2}{3}(4-r^2)^{ \frac{3}{2} }\right]_{0}^{2}=- \frac{96\pi}{3}}\)

a powinno wyjść \(\displaystyle{ - \frac{16\pi}{3}}\). Całki policzyłem za pomocą kalkulatora całek.

[janusz47]

Wartość wyznacznika \(\displaystyle{ \frac{8r}{\sqrt{4-r^{2}}}}\)
Strumień wektora pola
\(\displaystyle{ F=2\pi \int_{0}^{2}\frac{8r}{\sqrt{4-r^{2}}}dr =32\pi.}\)

[tadu983]

Faktycznie wartość wyznacznika wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} + 2r \sqrt{4-r^2}}\)
więc wartość całki:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\phi \int_{0}^{2}\left( \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} + 2r \sqrt{4-r^2}\right) \mbox{d}r = 2\pi \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{4-r^2}(r^2-8) - \frac{2}{3}(4-r^2)^{ \frac{3}{2} }\right]_{0}^{2}=- \frac{32\pi}{3}}\)
Wydaje mi się że nie można wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} + 2r \sqrt{4-r^2}}\) sprowadzić do wspólnego mianownika bo powinna w liczniku wyjdzie wartość bezwzględna. Dlatego wychodzi tobie inna wartość całki. Co nie zmienia faktu że w książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ - \frac{16\pi}{3}}\) a nie \(\displaystyle{ - \frac{32\pi}{3}}\).