Mam problem ze zrozumieniem definicji. A konkretniej dla pewnych przypadków wychodzi mi sprzeczność.
\(\displaystyle{ F=[X,Y]}\)
\(\displaystyle{ dl=[dx,dy]}\)
\(\displaystyle{ \int_{(l)}^{} F \times d l =\int_{(l)}^{} F \sin(F,dl) \, dl = \int_{(l)}^{}Xdy- Ydx}\)
W książce jest to wytłumaczone w ten sposób:
"W zagadnieniach dotyczących wektorów na płaszczyźnie posługujemy się niekiedy iloczynem wektorowym, a czynimy to w następujący sposób. Uzupełniamy układ płaski Oxy do układu przestrzennego Oxyz, aby móc utworzyć iloczyn wektorowy zgodnie z jego określeniem. Ponieważ rozważane przez nas wektory leżą w płaszczyźnie Oxy, więc iloczyn wektorowy dwóch takich wektorów jest równoległy do osi Oz, zatem jest przez swoja trzecią współrzędną w zupełności określony i może być z nią identyfikowany. W tym sensie prawdziwa jest równość"
\(\displaystyle{ F \times d l = Xdy- Ydx = |F| \sin(F,dl) \, |dl|}\)
No i moim zdaniem ta równość nie zachodzi bo np:Jeżeli\(\displaystyle{ F=[2,2]}\) ,\(\displaystyle{ dl=[3,0]}\)to po rozszerzeniu do trzeciej zmiennej mamy:
\(\displaystyle{ F \times d l =[2,2,0] \times [3,0, 0] = \left[\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&2&0\\ 3&0&0 \end{array}\right]=[0,0,-6]}\)
Czyli utożsamiając wynik iloczynku wektorowego z jego trzecią współrzędna mamy\(\displaystyle{ -6}\). Natomiast
\(\displaystyle{ |F|= \sqrt{2^2+2^2}=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |dl|= \sqrt{3^2} =3}\)
\(\displaystyle{ sin(F,dl)= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ |F| \sin(F,dl) \, |dl| = 6}\).No i dostajemy, że \(\displaystyle{ 6=-6}\). Proszę o wyjaśnienie.
