Problem z całką...

[biednystudent]

Witam,
Jestem nowy na forum, więc z góry przepraszam za niezgodność tematu z regulaminem..

Otóż mam problem z pewną całką, a mianowicie: \(\displaystyle{ \int\frac{ \mbox{d}x }{(\mbox{cosh}x) ^{2}}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(\mbox{cosh}x) ^{2}}=\int\frac{4}{e^{2x}+2+e^{-2x}}dx=}\)

\(\displaystyle{ =\int\frac{e^x}{e^x} \cdot \frac{4 \mbox{d}x }{\left( e^{2x}+2+e^{-2x}\right) }=\left|\begin{array}{ccc}e^x=t\\e^xdx=dt\end{array}\right|=???}\)

Albo wystarczy wiedzieć, że:

\(\displaystyle{ \left( \tanh x\right)'= \frac{1}{(\mbox{cosh}x) ^{2}}}\)

[biednystudent]

Dzięki bardzo po części sam do pewnego momentu doszedłem. zabrakło mi jedynie \(\displaystyle{ \frac{e^x}{e^x}}\), co znacznie ułatwia dalsze wyprowadzenie. Jeszcze raz dziękuję i temat do zamknięcia

[Mariusz M]

Można przez części korzystając z jedynki hiperbolicznej

\(\displaystyle{ \int\frac{ \mbox{d}x }{\cosh{x} ^{2}}=\int{\frac{\cosh^2{x}-\sinh^{2}{x}}{\cosh^{2}{x}} \mbox{d}x }\\
=\int{ \mbox{d}x }+\int{\sinh{x} \cdot \frac{\left( -\sinh{x}\right) }{\cosh^2{x}} \mbox{d}x }\\
=\int{ \mbox{d}x }+\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}-\int{ \frac{\cosh{x}}{\cosh{x}} \mbox{d}x }\\
=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}+C}\)