Wyznaczenie środka masy trójkąta

[tadu983]

Znaleźć środek masy trójkąta \(\displaystyle{ OAB}\) gdzie \(\displaystyle{ O=(0,0)}\), \(\displaystyle{ A=(a,0)}\), \(\displaystyle{ B=(0,b)}\).
Gęstość ciała jest stała i wynosi \(\displaystyle{ \mu}\)
Wzory na środek masy są następujące:
\(\displaystyle{ x_{0}= \frac{1}{m} \int_{}^{} x \,dm}\)
\(\displaystyle{ y_{0}= \frac{1}{m} \int_{}^{} y \,dm}\)
Więc mamy \(\displaystyle{ P= \frac{ab}{2}}\), \(\displaystyle{ m=\mu P}\), \(\displaystyle{ dm=\mu\, dx\,dy}\)
Mam problem z tym jak zapisać całkę. Robię to w ten sposób ale nie wychodzi:
\(\displaystyle{ y_{0}=\frac{2}{ab\mu} \iint\limits_{(P)} y \mu \, dx\,dy= \frac{2}{ab} \int_{0}^{a} \,dx \int_{0}^{- \frac{b}{a}x+b } y \,dy= ...}\)
No i z tego powinno wyjść \(\displaystyle{ y_{0}=\frac{b}{3}}\) a nie wychodzi.
Powinno być też \(\displaystyle{ x_{0}=\frac{a}{3}}\).

[kerajs]

Możliwe że pomyliłeś się w całkowaniu bo:
\(\displaystyle{ y_{0}=\frac{2}{ab} \int_{0}^{a} \,dx \int_{0}^{- \frac{b}{a}x+b } y \,dy=\frac{2}{ab} \int_{0}^{a}\frac{1}{2} \left( \frac{-b}{a} x+b \right) ^{2} \mbox{d}x =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{ab} \left( \frac{1}{3} \frac{b ^{2} }{a ^{2}} x ^{3}- \frac{b ^{2}}{a}x ^{2}+b ^{2}x \right)\Bigg| ^{a} _{0} = \frac{a}{3}}\)

[tadu983]

Faktycznie pomyliłem się. Dzięki .
Tylko gwoli ścisłości powinno być
\(\displaystyle{ = \frac{1}{ab} \left( \frac{1}{3} \frac{b ^{2} }{a ^{2}} x ^{3}- \frac{b ^{2}}{a}x ^{2}+b ^{2}x \right)\Bigg| ^{a} _{0} = \frac{b}{3}}\)