Całka powierzchniowa funkcji skalarnej

[tadu983]

W książce Leitenra "Zarys matematyki wyższej" są następujące wzory:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_{(G)}f(x,y,z(x,y)) \cdot \sqrt{z_{x}^2+z_{y}^2+1} \, dx\,dy}\)
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS=\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\)
oraz następujący przykład:
Obliczyć całkę powierzchniową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2}\) po płacie \(\displaystyle{ (S)}\) o równaniu \(\displaystyle{ z = x^2+y^2}\) dla \(\displaystyle{ x^2+y^2 \le 2}\)
Mamy \(\displaystyle{ z_{x}=2x \ z_{y}=2y}\)
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS=\iint\limits_{(G)}[x^2+y^2+(x^2+y^2)^2] \sqrt{4x^2+4y^2+1} \, dx\,dy}\)
Przy podstawieniu \(\displaystyle{ x^2+y^2= r^2}\), \(\displaystyle{ \, dx\,dy =r\, d\varphi\,dr}\) Mamy:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{ \sqrt{2} } (r^2+r^4) \sqrt{4r^2+1} \cdot r \ dr}\)
No i właśnie nie rozumiem dlaczego jest tam ten pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt{4r^2+1}}\). Przy podstawieniu do tego drugiego wzoru moim zdaniem nie powinno go tam być. Proszę o pomoc.

[kerajs]

bo:
\(\displaystyle{ \sqrt{4x^2 +4y^2 +1} = \sqrt{4\left( x^2 +y^2 \right) +1}=\left[ r^2=x^2 +y ^{2}\right]= \sqrt{4r ^{2} +1}}\)

[tadu983]

Ale przecież we wzorze
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS=\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\)
nie ma żadnego pierwiastka.

[kerajs]

Chyba jest:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_{(G)}f(x,y,z(x,y)) \cdot \sqrt{(z_{x} ^{'}) ^2+(z_{y} ^{'} )^2+1} \, dx\,dy=}\)
\(\displaystyle{ =\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\)
bo z płata S przeszedłeś na jego rzut G pozbywając się zmiennej z (i tu pojawia się pierwiastek). Dopiero z G przechodzisz na jego obraz Omega we współrzędnych biegunowych .

Ps. Uzupełniłem brakujące primy.

[tadu983]

A czy zamiast:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_{(G)}f(x,y,z(x,y)) \cdot \sqrt{(z_{x} ^{'}) ^2+(z_{y} ^{'} )^2+1} \, dx\,dy}\)
\(\displaystyle{ =\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\)
nie powinno być:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_{(G)}f(x,y,z(x,y)) \cdot \sqrt{(z_{x} ^{'}) ^2+(z_{y} ^{'} )^2+1} \, dx\,dy}\)
\(\displaystyle{ =\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dr}\) ?

Czyli, jeśli dobrze rozumiem to w tym przykładzie nie używam wzoru:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS=\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\) tylko zamieniam pole płata G na jego rzut S (dzięki czemu pozbywam się zmiennej z)a z rzutu G przechodzę zwyczajnie na zmienne biegunowe?

[kerajs]

Powinno być dr zamiast dz.
Ja skopiowałem to z Twojego postu i przegapiłem złą różniczkę. Przypuszczam że w książce jest dr, podobnie jak jakobian który dopisałeś w pierwszym poscie.

Czy kwestia pierwiastka jest wyjaśniona?

[tadu983]

Ale żeby było poprawnie to powinno być:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_{(G)}f(x,y,z(x,y)) \cdot \sqrt{(z_{x} ^{'}) ^2+(z_{y} ^{'} )^2+1} \, dx\,dy}\)
\(\displaystyle{ =\iint\limits_{(\Omega)}f_{2}(r \cos\varphi, r \sin\varphi) \cdot r\, d\varphi\,dr}\)
A w książce jest dokładnie tak:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS=\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\)
bo zakładamy, że \(\displaystyle{ r = const}\).
Powiedz mi jeszcze tylko czy dobrze rozumiem. w zadaniu nie używam powyższego wzoru tylko zamieniam pole płata G na jego rzut S (dzięki czemu pozbywam się zmiennej z) a z rzutu G przechodzę na zmienne biegunowe?

[kerajs]

Wprowadziłem Cię w błąd skupiając się na pierwiasku i nie wczytujac w całki. Wery sorry.

Sa tu dwa różne wzory:

\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS= \iint\limits_{(G)}f(x,y,z(x,y)) \cdot \sqrt{z_{x}^2+z_{y}^2+1} \, dx\,dy}\)
Ten pozbywa się zmiennej ,,z'. Płat S przechodzi w swój rzut na XOY czyli G.

\(\displaystyle{ \iint\limits_{(S)} f(x,y,z)\, dS=\iint\limits_{(\Omega)}f(r \cos\varphi, r \sin\varphi, z) \cdot r\, d\varphi\,dz}\)
Tu stosujesz współrzędne cylindryczne. I oczywiśćie (mea maxima culpa) powinno być dz.

Ty zadanie masz rozwiązywane pierwszym wzorem. Po pozbyciu się zmiennej z dla wygody przechodzisz na współrzędne biegunowe.

[tadu983]

Ogromne dzięki.