Objętość wnętrza elipsoidy

[tadu983]

Proszę o pomoc w policzeniu objętości wnętrza elipsoidy
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1}\)


Rzutując na płaszczyznę\(\displaystyle{ Oxy}\) mamy obszar
\(\displaystyle{ (G)= \left\{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le1 \right\}}\)

Rozwiązując względem z mamy
\(\displaystyle{ z_{1,2}=+-c \sqrt{1 - ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} )}}\)
czyli dwie półelipsoidy.

\(\displaystyle{ \iint\limits_{(G)} |z_{1}-z_{2}|\, dx\,dy =\iint\limits_{(G)} 2c \sqrt{1 - ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} )} dx\,dy}\)


Zamieniając na zmienne biegunowe mamy
\(\displaystyle{ \frac{x}{a} =r \cos \varphi}\), \(\displaystyle{ \frac{x}{b} =r \sin \varphi}\) \(\displaystyle{ J= abr}\)

W książce zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest zdefiniowany tak
\(\displaystyle{ (H)= \left\{ 0\le r \le 1 , 0\le\varphi\le 2\pi \right\}}\)
A wg mnie powinno być
\(\displaystyle{ (H)= \left\{ 0\le r \le \sqrt{ \frac{b^2}{1-( \frac{a^2-b^2}{a^2} )\cos^2\varphi} } , 0\le\varphi\le 2\pi \right\}}\)


\(\displaystyle{ \iint\limits_{(G)} |z_{1}-z_{2}|\, dx\,dy =\iint\limits_{(H)} 2c \sqrt{1-r^2}abr \, dr\,d\varphi= abc \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{1}2\sqrt{1-r^2}\cdot r \ dr= ...}\)

A wg mnie powinno być
\(\displaystyle{ ... = abc \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\sqrt{ \frac{b^2}{1-( \frac{a^2-b^2}{a^2} )\cos^2\varphi} } }2\sqrt{1-r^2}\cdot r \ dr= ...}\)

[luka52]

Jak wstawisz nowe zmienne do warunku:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1}\)

to co otrzymasz?

[tadu983]

Otrzymam, że \(\displaystyle{ r \le 1}\) no ale tak zdefiniowany zbiór \(\displaystyle{ H}\)
\(\displaystyle{ (H)= \left\{ 0\le r \le 1 , 0\le\varphi\le 2\pi \right\}}\)
jest przecież kołem a nie wnętrzem elipsy.

[a4karo]

A czemu nie zmodyfikować współrzędnych sferycznych? Wtedy wszystko sie bardzo upraszcza...

[tadu983]

Powtarzam jeszcze raz pytanie
Otrzymam, że \(\displaystyle{ r \le 1}\) no ale tak zdefiniowany zbiór\(\displaystyle{ H}\)
\(\displaystyle{ (H)= \left\{ 0\le r \le 1 , 0\le\varphi\le 2\pi \right\}}\)
jest przecież kołem a nie wnętrzem elipsy.

Do a4karo:
Nie chcę modyfikować współrzędnych sferycznych. Nie zależy mi na skumaniu dlaczego można liczyć tą całkę po zbiorze \(\displaystyle{ (H)= \left\{ 0\le r \le 1 , 0\le\varphi\le 2\pi \right\}}\) który jest kołem o promieniu \(\displaystyle{ r}\). A powinno się (moim zdaniem) liczyć po wnętrzu elipsy .

[a4karo]

OK. Odwzorowanie \(\displaystyle{ x=ar\cos \varphi, y=br\sin\varphi}\) odwzorowuje prostokąt \(\displaystyle{ 0<r<1, 0\leq \varphi < 2\pi}\) na elipsę (zauważ różnice miedzy klasycznymi zmiennymi biegunowymi, które dostajesz w przypadku \(\displaystyle{ a=b=1.}\)

[tadu983]

Dzięki .