Całka funkcji stowarzyszonej do wielomianu Czebyszewa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Całka funkcji stowarzyszonej do wielomianu Czebyszewa

Post autor: yorgin » 25 maja 2014, o 19:55

Zmagam się z całką
\(\displaystyle{ q_n(x)=\int_{-1}^1 \frac{T_n(s)\dd s}{\sqrt{1-s^2}(s-x)}}\)
i szczerze powiedziawszy nie widzę, jak to sensownie policzyć. Spodziewam się, że można otrzymać tutaj rekurencję, ale i to jest dość odległe od moich rachunków.

Poza liczeniem wprost przychodzi mi głupie rozwiązanie typu policzyć \(\displaystyle{ q_0}\) oraz \(\displaystyle{ q_1}\) i skorzystać z rekurencji
\(\displaystyle{ 2xq_n=q_{n+1}(x)+q_{n-1}(x)}\)
Jakieś pomysły do liczenia wprost? A może druga ze wspomnianych przeze mnie metod to jedyna sensowna rzecz, jaką można z tym zrobić?

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Całka funkcji stowarzyszonej do wielomianu Czebyszewa

Post autor: Kamil_B » 25 maja 2014, o 22:34

Ta całka to bodaj \(\displaystyle{ \pi U_{n-1}(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ U_n(x)}\) jes n-tym wielomianem Czebyszewa II rodzaju (\(\displaystyle{ n=1,2,...}\)).
Zobacz np. I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik Table of Integrals, Series, and Products, Seventh Edition(str. 800) albo Erdelyi, A. et al., Tables of Integral Transforms, vol. II. McGraw Hill, New York, 1954 (str. 187, wzór 48).

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Całka funkcji stowarzyszonej do wielomianu Czebyszewa

Post autor: yorgin » 27 maja 2014, o 14:44

Wolałbym jednak rozwiązanie nieodwołujące się do źródła książkowego. Jesli istotnie całka jest proporcjonalna do \(\displaystyle{ U_n}\), to policzenie dwóch pierwszych, tj \(\displaystyle{ q_0}\) oraz \(\displaystyle{ q_1}\) wystarczy do stwierdzenia, ze \(\displaystyle{ q_n=c_nU_n}\) gdzie \(\displaystyle{ c_n}\) jest pewną stałą.

ODPOWIEDZ