Mam rozwiazania pewnej całki ale go nie rozumie.

[tadu983]

Proszę o pomoc w zrozumieniu tego rozwiązania
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x\ln (x+ \sqrt{1+x^2}) }{ \sqrt{1+x^2} } dx =}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \ln (x + \sqrt{1+x^2}) d( \sqrt{1+x^2}) =
\sqrt{1+x^2} \ln (x + \sqrt{1 + x^2} )- \int_{}^{} dx =}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1 +x^2} \ln (x + \sqrt{ 1 +x^2}) -x +C}\)

Nie rozumie co znaczy \(\displaystyle{ d( \sqrt{1+x^2} )}\) i jak z takiej całki przejsc do calkowania przez części. Proszę o pomoc.

[Premislav]

Nie rozumie co znaczy

Oznacza pochodną \(\displaystyle{ \sqrt{1+x ^{2} }}\). Dalej najzwyklejsze całkowanie przez części, różniczkujesz \(\displaystyle{ \ln(x+ \sqrt{1+x ^{2} })}\)

[tadu983]

No ale dlaczego te funkcje pod calkami są sobie równe . Zreszta pochodną z pierwiastkaz x to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\). I nie rozumie czy ta druga calka jest liczona po zmiennej x czy po
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}}\).Czy da się to rozpisać bardziej łopatologicznie.

[Premislav]

Masz całki, a nie przerabiałeś wzoru na pochodną funkcji złożonej?
Pochodną pierwiastka z \(\displaystyle{ x}\) podałeś prawidłowo, ale tu jest pochodna pierwiastka z \(\displaystyle{ 1+x ^{2}}\). Druga całka liczona jest jak najbardziej po zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

[tadu983]

Już wszystko rozumie. Nie było takie trudne jak się spodziewałem. Wielkie dzięki!