potencjał, strumień wektora i tw. Stokes'a

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

potencjał, strumień wektora i tw. Stokes'a

Post autor: Kosynier » 3 lut 2014, o 15:03

Na wstępie przepraszam jeżeli trafiłem nie w ten dział co trzeba. Umieściłem ten temat tutaj bo zobaczyłem że robiono tu zadania ze Stokesem i nie bardzo wiem gdzie indziej mógłby ten temat pasować.

Więc tak. Mam 2 zadania przykładowe, proszę o sprawdzenie wyników pierwszego i pomoc z drugim.
Zadanie 1
Czy pole jest potencjalne,jeśli tak to obliczyć potencjał dla dwóch przypadków
a)V(0,1,1)=0
b)V(0,2,1)=0

a)
\(\displaystyle{ \vec{A}_x=2xyz+y}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_y=x^2 z+x+z}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_z=x^2 y+y}\)

b)
\(\displaystyle{ \vec{A}_x=4x+yz}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_y=4y+xz}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_z=4z+xy}\)

Rozwiązanie: Obydwa pola są potencjalne (bo \(\displaystyle{ rot\vec{A}=0}\)), potencjały w wyznaczonych punktach to:
a)\(\displaystyle{ V(x,y,z)=x^2 yz+xy+yz-1}\)
b)\(\displaystyle{ V(x,y,z)=2x^2 +xyz+2y^2 +2z^2 -10}\)


Zadanie 2
Obliczyć strumień wektora \(\displaystyle{ \vec{B}=rot\vec{A}}\)
a)z def. strumienia
b)z tw. Stokes'a

\(\displaystyle{ \vec{A}_x=2x-z}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_y=3y-x}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_z=4z-y}\)

Wiem że \(\displaystyle{ \vec{B}=rot\vec{A}=1x-1y-1z}\) ale nie mam pojęcia jak obliczyć strumień ani zastosować twierdzenie Stokes'a. Twierdzenie to wymaga przecież jakiegoś obszaru którego krawędź wykorzystujemy w całce, tym czasem tu mamy tylko wektor.

Proponuję zrobić to tak. Daję poniżej przykład ze zmienionymi danymi. Ktoś kto umie może go rozwiązać krok po kroku a ja zobaczę jak to się robi, zapytam jeśli czegoś nie rozumiem, po czym wrócę do zadania 2 i powiecie mi czy dobrze je zrobiłem.

Dane przykładowe:
\(\displaystyle{ \vec{A}_x=4x-y}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_y=2z+3y}\)
\(\displaystyle{ \vec{A}_z=3x+4z}\)

\(\displaystyle{ rot\vec{A}=2x-3y+1z}\)
Ktoś chętny?

brzoskwinka1

potencjał, strumień wektora i tw. Stokes'a

Post autor: brzoskwinka1 » 3 lut 2014, o 18:17

Pierwsze masz dobrze.
W drugim musisz mieć daną powierzchnię aby obliczyć strumień wektora przez powierzchnię.

Kosynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 17 maja 2009, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

potencjał, strumień wektora i tw. Stokes'a

Post autor: Kosynier » 3 lut 2014, o 21:45

Powierzchni nie mam danej żadnej więc albo błąd albo jedno z tych podchwytliwych pytań gdzie trzeba napisać że się nie da. Ale dla ćwiczenia przyjmijmy że mamy powierzchnię, narysowaną poniżej:


Rozumiem że krawędzie tej powierzchni wyznaczają nam granice całkowania. Pytanie: co właściwie mam poddać teraz całkowaniu?

ODPOWIEDZ