Oblicz całki nieoznaczone

[ZaKooN]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sqrt{1+4x}}{x}dx}\)

[chris_f]

Podstawiamy \(\displaystyle{ 1+4x=t^2\Rightarrow dx=\frac12tdt,\ x=\frac{t^2-1}{4}}\). I całka przyjmie postać
\(\displaystyle{ \int\frac{t}{\frac{t^2-1}{4}}\cdot\frac12tdt=2\int\frac{t^2}{t^2-1}dt=
2\int\frac{t^2-1+1}{t^2-1}dt=2\int dt+2\int\frac{dt}{t^2-1}=(\star)}\)
Pierwsza całka jest oczywista, drugą trzeba policzyć przez rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}}\)
Łatwo wyliczamy, że \(\displaystyle{ A=\frac12,B=-\frac12}\) skąd
\(\displaystyle{ \int\frac{dt}{t^2-1}=\frac12\int\frac{dt}{t-1}-\frac12\int\frac{dt}{t+1}=
\frac12\ln|t-1|-\frac12\ln|t+1|=\frac12\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|}\)
No i wracamy do starej zmiennej \(\displaystyle{ t=\sqrt{1+4x}}\) i mamy
\(\displaystyle{ (\star)=2\sqrt{1+4x}+\ln\left|\frac{\sqrt{1+4x}-1}{\sqrt{1+4x}+1}\right|}\)

[ZaKooN]

Przecież jest wzór na tą druga calke.

[rtuszyns]

Przecież jest wzór na tą druga calke.

Ale skąd on się wziął to już teraz wiesz...

[ZaKooN]

A co jeżeli chodzi o taką całkę?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{chx}}\)

[rtuszyns]

A co jeżeli chodzi o taką całkę?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{chx}}\)

Rozumiem, że \(\displaystyle{ c}\) oraz \(\displaystyle{ h}\) to stałe. Wtedy całka tablicowa.

[ZaKooN]

chx to cosinus paraboliczny

[rtuszyns]

chx to cosinus paraboliczny

Chyba cosinus hiperboliczny i oznacza się go \(\displaystyle{ \cosh x}\).
Warto wiedzieć, że \(\displaystyle{ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}\)

[ZaKooN]

Jeżeli mam chx na liście to chyba jednak tak się go oznacza.


Wiem ile wynosi chx, nadal nie umiem zrobic tego przykladu.

[rtuszyns]

To w czym jest problem?
Co do oznaczania funkcji to tego typu funkcje (czyli sinus, cosinus, itd.) oznacza się czcionką prostą czyli
\(\displaystyle{ \sin , \cos ,\cosh, \mathrm{ch}}\) a nie jak zmienne lub stałe, które są oznaczane przy pomocy kursywy.

[ZaKooN]

nie wiem jakie podstawienie zastosowac.

[rtuszyns]

nie wiem jakie podstawienie zastosowac.

Najpierw pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e^x}\) a następnie podstawienie \(\displaystyle{ t=e^x}\).

[ZaKooN]

A co byś powiedział o takim przykładzie?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{3}e^{x^2}dx}\)

Jakie podstawienie tutaj zastosować?

[chris_f]

Rozpisz \(\displaystyle{ x^3=x^2\cdot x}\) i podstaw za \(\displaystyle{ x^2}\).