Całka nieoznaczona z arctg

[aramil46]

Witam
Mam problem z rozwiązaniem jednej całki. Nie mam pewności czy dobrze to robię.

\(\displaystyle{ \int 3 x^{2}\arctg(2x) \dd x}\)

Wyłączam \(\displaystyle{ 3}\) i robię przez części

\(\displaystyle{ 3\int x^{2}\arctg(2x) \dd x}\)


\(\displaystyle{ u=\arctg(2x)}\)
\(\displaystyle{ u'= \frac{2}{ 4x^{2} +1}}\)

\(\displaystyle{ v' = x^2}\)
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{3} x^{3}}\)


\(\displaystyle{ 3 \left( \frac{1}{3} x^{3}\arctg \left( 2x \right) - \frac{2}{3} \int \frac{ x^{3} }{4x^{2}+1 }\dd x \right)}\)

Potem rozpatruję tylko całkę \(\displaystyle{ \int\frac{ x^{3} }{4x^{2}+1 }\dd x}\)
i robie ją przez podstawienie.


\(\displaystyle{ \int\frac{ xx^{2} }{4x^{2}+1 }\dd x}\)

\(\displaystyle{ t= x^{2}}\)

\(\displaystyle{ \dd t=2x \dd x}\)

\(\displaystyle{ \dd x= \frac{\dd t}{2x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{1}{4t+1}\dd t}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int \frac{4}{4t+1}\dd t}\) -licznik jest pochodną mianownika

czyli bez kolejnego podstawiania można napisać, że

\(\displaystyle{ \int \frac{ x^{3} }{4x^{2}+1 }\dd x = \frac{1}{8} \ln \left| 4 x^{2}+1 \right| +C}\)

i wstawiam do wyrażenia na początku i dostaje, że

\(\displaystyle{ \int 3 x^{2}\arctan (2x) \xd x = x^{3}\arctan (2x) - \frac{1}{4}\ln \left| 4 x^{2}+1 \right| +C}\)

Czy moje rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie to proszę wskazać moje błędy.

[Premislav]

O ile nie zrobiliśmy tego samego błędu w rachunkach, rozwiązanie jest prawidłowe.

[wielkidemonelo]

\(\displaystyle{ \int\frac{ x^{3} }{4x^{2}+1 }\dd x}\)

Ta całka jest źle policzona.

[Premislav]

Istotnie, nie wiem, jak mogłem to przeoczyć. Po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{t}{4t+1}dt}\), co można zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int_{}^{} \frac{4t+1-1}{4t+1}dt}\) i rozbić na sumę łatwych do wyliczenia całek.

[Gouranga]

Premislav, słusznie, to już można ładnie rozbić na

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int_{}^{} \frac{4t+1-1}{4t+1}dt = \frac{1}{8}\left(\int 1 dt - \frac{1}{4}\int \frac{4}{4t+1}dt\right)}\)

gdzie jedna jest elementarna, druga logarytmiczna bo licznik jest pochodną mianownika