wzór Heaviside'a oraz residua

[Qwiker]

Witam.
Otóż mam problem z dwoma zadaniami.

1. Za pomocą wzoru Heaviside'a wyznaczyć oryginał laplasowski funkcji.

\(\displaystyle{ F(z) =}\) \(\displaystyle{ \frac{2s-1}{(s+1)(s-2)}}\)

Proszę o odpowiedź, czy policzyłem to dobrym sposobem, i czy wynik się zgadza.

\(\displaystyle{ s_{1}= -1 \\
s_{2}= 2}\)

\(\displaystyle{ L(s) = 2s-1 \\
L(0) = -1 \\
L(s_{1}) = -3 \\
L(s_{2}) = 3}\)

\(\displaystyle{ M(s)=s^2-s-2 \\
M(0)= -2 \\
M'(s)= 2s-1 \\
M'(s_{1})= -3 \\
M'(s_{2})= 3}\)

Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ f(t)= \frac{L(0)}{M(0)} + \sum_{k=1}^{n} \frac{L(s_{k})}{s_{k}M'(s_{k})}e^{s_{k}t}}\)
Doszedłem do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ f(t)= \frac{-1}{-2} + \frac{-3}{(-1) \cdot (-3)}e^{-t} + \frac{3}{2 \cdot 3}e^{2t}}\)
Co po uproszczeniu dało mi:
\(\displaystyle{ f(t)= \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{2t}}\)

Czy zadanie zrobiłem poprawnie?

2. Za pomocą residuów obliczyć całkę krzywoliniową z funkcji zespolonej
\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{} \frac{e^z}{(z-1)^3} dx}\)
gdzie kontur \(\displaystyle{ L}\) jest okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_{0}= 1+i}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=2}\)

I tu jestem w kropce, bo nie wiem jak się zabrać za to zadanie, więc prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu i przedstawieniu toku myślenia.

[M Ciesielski]

Co do drugiego:

1. Wyznaczasz residua funkcji podcałkowej.
2. Sprawdzasz które z nich leżą w obszarze ograniczonym Twoją krzywą.
3. Sumujesz je.
4. Mnożysz przez \(\displaystyle{ 2\pi i}\).

[Qwiker]

Dzięki wielkie.
Czekam jeszcze na odpowiedź, czy 1 zrobiłem dobrze

A co do 2 rozumiem, że liczę tylko residua z -> 1 ? Bo wtedy leży on w obszarze ograniczonym moją krzywą z tego co sobie policzyłem.

Bo wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 2 \pi i \lim_{ z\to1 }\frac{d^2}{dz^2}[(z-1)^3\frac{e^z}{(z-1)^3}] = 2 \pi i \lim_{ z\to1 }[(e^z)']' = 2 \pi i \lim_{ z\to1}e^z = 2 \pi i e}\)

[M Ciesielski]

Tak, tylko w \(\displaystyle{ z_0=1}\) (z resztą innych nie ma ). Prawie dobrze, przed granicą jest (a w zasadzie powinno być) jeszcze \(\displaystyle{ \frac{1}{2!}}\).

[Qwiker]

no, fakt. Jeszcze raz dziękuję. Bardzo mi pomogłeś -- 15 wrz 2013, o 14:49 --Jest ktoś, kto mógłby mi sprawdzić zadanie 1?

[michaellll86]

Odpowiadając na zadanie pierwsze ("trochę" późno, ale właśnie przygotowuję z tego zajęcia i jako ciekawostkę chciałem pokazać wzory Heaviside'a) - wzór jest błędny :] Przynajmniej bazując na "Podstawy Automatyki" prof. Horla.
W mianowniku pod sumą nie powinno być \(\displaystyle{ s_{k}}\) - i wtedy wynik jest (prawie) taki sam, jak wykorzystując "Twierdzenie o rozkładzie na podstawie residuów", czyli:
\(\displaystyle{ f(t) = e^{-t} + e^{2t}}\)
Wspomniane "prawie" - ze względu na początek wzoru \(\displaystyle{ \frac{L(0)}{M(0)} }\), który nie wiem, skąd się wziął i nie ma odzwierciedlenia we wspomnianej wyżej metodzie.

[janusz47]

Metoda Heaviside'a (residuów) - wyznaczania oryginału transformacji Laplace'a

Zadanie 1

\(\displaystyle{ F(s) = \frac{2s -1}{(s+1)(s-2)} }\)

Przypadek biegunów jednokrotnych.

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t) = A_{1}e^{-t} + A_{2}e^{2t} }\)

\(\displaystyle{ A_{1} = \frac{(2s-1)(s+1)}{(s+1)(s-2)}|_{s=-1} = \frac{(2s -1)}{s-2}|_{s= -1} = \frac{2\cdot (-1)-1}{-1 -2} = \frac{-3}{-3}= 1.}\)

\(\displaystyle{ A_{2} = \frac{(2s-1)(s - 2)}{(s+1)(s-2)}|_{s=2} = \frac{(2s -1)}{s+1}|_{s= 2 } = \frac{2\cdot (2 )-1}{2 +1} = \frac{3}{3}= 1.}\)

\(\displaystyle{ f(t) = 1\cdot e^{-t} + 1\cdot e^{2t} = e^{-t} + e^{2t}.}\)

[arn74]

dotyczy zadania 1
Wzór jest prawidłowy pod warunkiem, że funkcja \(\displaystyle{ F(z)}\) ma bieguny wyłącznie proste i posiada biegun w zerze.
W przykładzie widać, że bieguny są proste ale \(\displaystyle{ F(z)}\) nie posiada bieguna w zerze, więc błędny wzór zastosowano do wyznaczenia oryginału.
Prawidłowy wzór jest bardzo podobny do przedstawionego - tyle, że nie ma \(\displaystyle{ \frac{L(0)}{M(0)}}\) oraz pod sumą w mianowniku nie ma sk.
Reszta wzoru jest ok i po podstawieniu danych wynik będzie prawidłowy.
Pozdrawiam,
nauczyciel w elektroniku radom