Zamiana kolejności całkowania w całce iterowanej

Ninab · Post autor: **Ninab** » 26 cze 2013, o 22:41

Czy jeśli w zadaniu mam zamienić kolejność całkowania i zaczynając od rysowania obszaru wychodzi mi, że obszar nie jest zamknięty, funkcje właściwie się nie przecinają to nie zamieniam kolejności całkowania?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 cze 2013, o 22:43

Jakie funkcje się nie przecinają?

Jeśli zadanie wymaga zamiany kolejności całkowania, to należy to zrobić.

Nic więcej nie jestem w stanie pomóc na te zdawkowe informacje.

Ninab · Post autor: **Ninab** » 26 cze 2013, o 22:48

yorgin pisze:Jakie funkcje się nie przecinają?

Jeśli zadanie wymaga zamiany kolejności całkowania, to należy to zrobić.

Nic więcej nie jestem w stanie pomóc na te zdawkowe informacje.

Całka iterowana -> rysuję obszar całkowania na wykresie -> okazuje się, że obszar nie jest normalny. Co oznacza, że nie jest (w tym przypadku) ograniczony niczym z dołu -> skoro obszar nie jest normalny to czy zamiana kolejności całkowania w całce iterowanej ma jakikolwiek sens?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 cze 2013, o 23:03

Twierdzenie o iterowaniu całek czy zamianie kolejności zmiennych w całkowaniu jest prawdziwe dla obszarów normalnych. Ale nie oznacza to, że jeśli obszar nie jest normalny, to nie można zamienić kolejności całkowania. Banalny przykład

\(\displaystyle{ \int_0^\infty \int_0^x e^{-(x^2+y^2)}dxdy}\)

Ninab · Post autor: **Ninab** » 26 cze 2013, o 23:12

yorgin pisze:Twierdzenie o iterowaniu całek czy zamianie kolejności zmiennych w całkowaniu jest prawdziwe dla obszarów normalnych. Ale nie oznacza to, że jeśli obszar nie jest normalny, to nie można zamienić kolejności całkowania. Banalny przykład

\(\displaystyle{ \int_0^\infty \int_0^x e^{-(x^2+y^2)}dxdy}\)

Dzięki za odpowiedź. Tylko wciąż nie rozumiem jak to zrobić. Kiedy mam np. funkcję (już po zamianie z \(\displaystyle{ y= x^{2}}\)) ----> \(\displaystyle{ x= \sqrt{y} \vee x=- \sqrt{y}}\) to, żeby wiedzieć, którą z nich użyć muszę widzieć wykres. A na wykresie nie widać nic, bo nie jest to obszar normalny...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 cze 2013, o 23:33

Ninab pisze: Dzięki za odpowiedź. Tylko wciąż nie rozumiem jak to zrobić. Kiedy mam np. funkcję (już po zamianie z \(\displaystyle{ y= x^{2}}\)) ----> \(\displaystyle{ x= \sqrt{y} \vee x=- \sqrt{y}}\) to, żeby wiedzieć, którą z nich użyć muszę widzieć wykres. A na wykresie nie widać nic, bo nie jest to obszar normalny...

Przed chwilą pisałem Ci, że mimo iż obszar normalny nie jest, można zamienić kolejność całkowania. Czy ja rzucam słowa na wiatr?

Ponadto napisałaś tylko wzór na funkcję. Nie podałaś mi w ogóle, jaki to ma być obszar. Czy nad, czy pod wykresem. Nie podałaś żadnych ograniczeń ponad tą funkcję. Więc jak mam Ci pomóc?

Ninab · Post autor: **Ninab** » 26 cze 2013, o 23:44

yorgin pisze: Przed chwilą pisałem Ci, że mimo iż obszar normalny nie jest, można zamienić kolejność całkowania. Czy ja rzucam słowa na wiatr?

Ponadto napisałaś tylko wzór na funkcję. Nie podałaś mi w ogóle, jaki to ma być obszar. Czy nad, czy pod wykresem. Nie podałaś żadnych ograniczeń ponad tą funkcję. Więc jak mam Ci pomóc?

Nie chcę tu podawać całego zadania, bo to nie o to chodzi. Kiedy odwracasz kolejność całkowania i liczysz funkcję odwrotnie (czyli wyznaczasz sobie np. x=...) i tak jak podałam wychodzą Ci dwie funkcje (z plusem i z minusem) to dopiero na wykresie widać, która z nich ogranicza (przykładowo, które ramię paraboli ogranicza obszar z góry/dołu). Ja rozumiem, że można zamienić kolejność całkowania, ale w tym przypadku muszę wiedzieć, które ramię paraboli (z minusem czy z plusem) ogranicza mi obszar, żeby go odpowiednio wpisać jako granicę całkowania. I w tym przypadku jest to niewykonalne, ponieważ żadnego obszaru normalnego nie ma...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 cze 2013, o 11:12

Ninab pisze: [...] tak jak podałam wychodzą Ci dwie funkcje (z plusem i z minusem) to dopiero na wykresie widać, która z nich ogranicza (przykładowo, które ramię paraboli ogranicza obszar z góry/dołu). Ja rozumiem, że można zamienić kolejność całkowania, ale w tym przypadku muszę wiedzieć, które ramię paraboli (z minusem czy z plusem) ogranicza mi obszar, żeby go odpowiednio wpisać jako granicę całkowania.

Przeczysz samej sobie w tej wypowiedzi.

Ninab pisze: I w tym przypadku jest to niewykonalne, ponieważ żadnego obszaru normalnego nie ma...

Wcale nie chcesz sobie pomóc. Prosiłem o podanie obszaru, by na przykładzie Ci pokazać, jak zamienić kolejność całkowania. Pisałem również o tym, że obszar normalny być nie musi. Podałem Ci przykład parę postów wyżej. Twój upór raczej Ci nie pomoże, gdyż cały czas twierdzisz, że czegoś tam nie da się zrobić, w ogóle nie podając jawnie, czym to jest.

Ninab · Post autor: **Ninab** » 27 cze 2013, o 11:46

Nie wiem gdzie widzisz zaprzeczenie w mojej wypowiedzi. 132682.htm chociażby. Chociaż nie o to mi chodziło, ale nie istotne. Dzięki za odpowiedź. (nie chce mi się wpisywać całego przykładu, zbyt żmudne) zapytam wykładowcę.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 27 cze 2013, o 14:01

Istotne. W zależności od tego, jaka jest funkcja ograniczająca zakres jednej zmiennej, można lub nie można zmieniać kolejności całkowania. I nie musi to zależeć od normalności zbioru. Masz przykład pozytywny i negatywny.

Skoro nadal bronisz się przed chociażby wypisaniem zbioru, to może rzeczywiście lepiej będzie nie marnować mojego czasu na ciągłe dopytywanie się, w czym leży problem. Nie będę również marnować Twojego czasu na "żmudne" przepisywanie wszystkiego, skoro możesz podać tylko początek.