Dwie całki

[Erurikku]

Witam,

prosiłbym o podpowiedź, jak zaatakować te całki:

\(\displaystyle{ \int \frac{3x+1}{ \sqrt{4x-1} } \cdot dx}\)

\(\displaystyle{ \int t \cdot \left( \arctan \left( t \right) \right) ^{2} \cdot dt}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{2x}}{ \sqrt{e^{2x}+11}} \cdot dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{4}{x\left( x+2 \sqrt{x}+4 \right) } \cdot dx}\)

Pozdrawiam

[Mariusz M]

Drugą spróbuj przez części w pozostałych podstaw za pierwiastek

\(\displaystyle{ \int{t\left( \arctan{x}\right)^{2} \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{2}\left( t^2+1\right)\arctan^{2}{t}-\int{\arctan{t} \mbox{d}t}\\
=\frac{1}{2}\left( t^2+1\right)\arctan^{2}{t}-\left( t\arctan{t}-\frac{1}{2}\ln{\left| 1+t^2\right| }\right)+C}\)

[Ser Cubus]

2) przez części różniczkująć arcustangens
3) podstawienie za wyrażenie pod pierwiastkiem
4) t =pierwiastek z x, następnie rozkładamy mianownik na iloczyn wielomianów i rozkład na ułamki proste

[pyzol]

W pierwszym \(\displaystyle{ t=4x-1}\).

[Erurikku]

Dziękuje za wszystkie podpowiedzi. Mam nadal jednak problem z 2

\(\displaystyle{ \int t \cdot \left( \arctan \left( t \right) \right) ^{2} \cdot dt = \ldots \stackrel{ \substack{v= \arctan \left( t \right) \right) ^{2} \\ uv= \frac{2 \cdot \arctan \left( t \right) }{t^{2}+1}} }{=} \ldots= \frac{1}{2} t^{2} \left( \arctan \left( t \right) \right) ^{2} - \int \frac{t^{2} \cdot \arctan \left( t \right) }{t^{2}+1}}\)

co zrobić dalej ?

Pozdrawiam

[Mariusz M]

Erurikku, tę całkę już policzyłem

Zauważ że funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f\left( t\right)=t}\)
jest \(\displaystyle{ \frac{t^2}{2}}\) ale jest nią także \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( t^2+1\right)}\)
jednak jeżeli wybierzesz tę drugą to przy całkowaniu przez części
skróci się ona z pochodną arcusa tangensa

[Fanik]

\(\displaystyle{ 1)\int {\frac{{3x + 1}}{{\sqrt {4x - 1} }}dx} = \int {\frac{{\frac{3}{4}(4x - 1) + \frac{7}{4}}}{{\sqrt {4x - 1} }}dx} = \left[ \begin{array}{l}
4x - 1 = t^2 \\
4dx = 2tdt \\
dx = \frac{{tdt}}{2} \\
\end{array} \right] = \frac{1}{2}\int {\frac{{\frac{3}{4}t^2 + \frac{7}{4}}}{t}tdt} = \frac{1}{8}\int {\left( {3t^2 + 7} \right)dt} = \frac{{t^3 }}{8} + \frac{7}{8}t + C = \underline {\underline {\frac{{(4x - 1)^{\frac{3}{2}} }}{8} + \frac{7}{8}(4x - 1)^{\frac{1}{2}} + C} }}\)

\(\displaystyle{ 2)\int {t\arctan ^2 t} dt = \int {\left( {\frac{{t^2 }}{2}} \right)^\prime } \arctan ^2 tdt = \frac{{t^2 }}{2}\arctan ^2 t - \int {\frac{{t^2 }}{2}2\arctan t \cdot \frac{1}{{t^2 + 1}}dt} = \frac{{t^2 }}{2}\arctan ^2 t - \int {\left( {1 - \frac{1}{{t^2 + 1}}} \right)\arctan tdt = } \frac{{t^2 }}{2}\arctan ^2 t - \int {\arctan tdt} + \int {\frac{{\arctan t}}{{t^2 + 1}}dt} = \frac{{t^2 }}{2}\arctan ^2 t - \int {t'\arctan tdt + \frac{{\arctan ^2 t}}{2}} = \frac{{t^2 }}{2}\arctan ^2 t + \frac{{\arctan ^2 t}}{2} - t\arctan t + \int {\frac{t}{{t^2 + 1}}dt} = \underline {\underline {\frac{{t^2 }}{2}\arctan ^2 t + \frac{{\arctan ^2 t}}{2} - t\arctan t + \frac{1}{2}\ln \left| {t^2 + 1} \right|} }}\)

\(\displaystyle{ 3)\int {\frac{{e^{2x} }}{{\sqrt {e^{2x} + 11} }}dx} = \left[ \begin{array}{l}
e^{2x} + 11 = u^2 \\
2e^{2x} dx = 2udu \\
e^{2x} dx = udu \\
\end{array} \right] = \int {\frac{{udu}}{u}} = u + C = \underline {\underline {\sqrt {e^{2x} + 11} + C} }}\)


\(\displaystyle{ 4)\int {\frac{4}{{x(x + 2\sqrt x + 4)}}dx = \left[ \begin{array}{l}
x = u^2 \\
dx = 2udu \\
\end{array} \right] = 8\int {\frac{{udu}}{{u^2 (u^2 + 2u + 4)}} = 8\int {\frac{{du}}{{u(u^2 + 2u + 4)}} = } } }}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{{u(u^2 + 2u + 4)}} = \frac{A}{u} + \frac{{Bu + C}}{{u^2 + 2u + 4}} \\
A(u^2 + 2u + 4) + u(Bu + C) = 1 \\
u = 0 \to 4A = 1 \to A = \frac{1}{4} \\
u(Bu + C) = 1 - \frac{{u^2 }}{4} - \frac{u}{2} - 1 \\
Bu + C = - \frac{u}{4} - \frac{1}{2} \\
B = - \frac{1}{4},C = - \frac{1}{2} \\
\end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ = 8\left( {\int {\frac{{\frac{1}{4}}}{u}du} + \int {\frac{{ - \frac{1}{4}u - \frac{1}{2}}}{{u^2 + 2u + 4}}} du} \right) = 8\left( {\frac{{\ln \left| u \right|}}{4} - \frac{1}{8}\int {\frac{{2u + 2}}{{u^2 + 2u + 4}}} du - \frac{1}{4}\int {\frac{{du}}{{u^2 + 2u + 4}}} } \right) =}\)
\(\displaystyle{ 8\left( {\frac{{\ln \left| u \right|}}{4} - \frac{1}{8}\ln \left| {u^2 + 2u + 4} \right| - \frac{1}{4}\int {\frac{{du}}{{(u + 1)^2 + 3}}} } \right) = \left[ \begin{array}{l}
u + 1 = \sqrt 3 v \\
du = \sqrt 3 dv \\
\end{array} \right] = 8\left( {\frac{{\ln \left| u \right|}}{4} - \frac{1}{8}\ln \left| {u^2 + 2u + 4} \right| - \frac{1}{4}\sqrt 3 \int {\frac{{dv}}{{3v^2 + 3}}} } \right)}\)
\(\displaystyle{ = 8\left( {\frac{{\ln \left| u \right|}}{4} - \frac{1}{8}\ln \left| {u^2 + 2u + 4} \right| - \frac{1}{{12}}\sqrt 3 \arctan v} \right) = 2\ln \left| u \right| - \ln \left| {u^2 + 2u + 4} \right| - \frac{2}{3}\sqrt 3 \arctan \frac{{u + 1}}{{\sqrt 3 }} = \underline {\underline {2\ln \left| {\sqrt x } \right| - \ln \left| {x + 2\sqrt x + 4} \right| - \frac{2}{3}\sqrt 3 \arctan \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt 3 }}} }}\)