Całka z arcsin

[myther]

Witam

Mam do obliczenia taką całkę:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x*arcsin( \frac{1}{x} ) dx}\)

Jak ją wykonać? Robiłem przez części ale w pewnym momencie się zapętliłem w obliczeniach.

[yorgin]

A robiłeś tak?

\(\displaystyle{ u=\arcsin \frac{1}{x}\qquad v'=x\\
u'=\ldots\qquad v\ldots}\)

Po jednym kroku wychodzi całka niewymierna.

[Fanik]

\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
\int {x\arcsin \frac{1}{x}dx = \int {\left( {\frac{{x^2 }}{2}} \right)^\prime } \arcsin \frac{1}{x}dx} = \frac{{x^2 \arcsin \frac{1}{x}}}{2} - \int {\frac{{x^2 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{x^2 }}} }}\frac{{ - 1}}{{x^2 }}} dx = \\
= \frac{{x^2 \arcsin \frac{1}{x}}}{2} + \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{x^2 }}} }}} dx\mathop = \limits^{(a)} \underline {\underline {\frac{{x^2 \arcsin \frac{1}{x}}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {x^2 - 1} + C} } \\
(a)\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{x^2 }}} }}} dx = \int {\frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{1}{{x^2 }}} }}} dx = \int {\frac{x}{{\sqrt {x^2 - 1} }}dx = \left[ \begin{array}{l}
x^2 - 1 = u^2 \\
xdx = udu \\
\end{array} \right]} = \int {\frac{{udu}}{u}} = u + C = \sqrt {x^2 - 1} + C \\
\end{array}}\)-- 10 czerwca 2013, 17:42 --PS. W paru miejscach został pominięty moduł, aczkolwiek rozwiązanie dla X > 0 jest prawdziwe.

[yorgin]

Fanik, dziękujemy bardzo za podanie gotowego rozwiązania, które jest dokładnie kopią tego, co wynika z mojej wskazówki. Gdybyś chociaż podał rozwiązanie inną metodą...

[Fanik]

`Widziałem dalej dzięki temu, że stałem na barkach gigantów.`

Co do innych metod - możesz metodą przewidywań przewidzieć wynik, a potem sprawdzić, czy się różniczkuje do funkcji podcałkowej.