całka podwójna po ciekawym obszarze, współrzędne eliptyczne

[Al93]

Jak obliczyć pole obszaru ograniczonego mniejszą elipsą, większą elipsą i prostą? konkretnie: \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{25} + \frac{y ^{2} }{4} \ge 1 , \frac{ x^{2} }{225} + \frac{y ^{2} }{36} \le 1, 0 \le \sqrt{3} y \le x}\) ? mam sparametryzowane obie elipsy ale czy w postaci paramtrycznej \(\displaystyle{ r}\) dla obu elips nie będzie inne? bo wyliczając je z obu równań otrzymam za każdym razem \(\displaystyle{ 1}\)? jak rozstawić granice całkowania dla \(\displaystyle{ r}\)??

[yorgin]

Zadanie można policzyć łatwo, jeżeli podzieli się je na dwie części.

1. Policzy pole kawałka większej elipsy ograniczonej podaną zależnością.

2. Policzy pole kawałka mniejsze elipsy tak samo ograniczonej.

Teraz wystarczy odjąć.

Nie ma wtedy problemu z granicami dla \(\displaystyle{ r}\).

[Al93]

A gdybym chciał to zrobić właśnie z tmyi ograniczeniami w jednej całce?;)

[Chromosom]

Elipsy te są do siebie podobne. Wystarczy zastosować parametryzację \(\displaystyle{ x=5r\cos\phi,\ \ y=2r\sin\phi}\).

[yorgin]

O, a to ciekawe, nie zauważyłem podobieństwa tych elips. Upraszcza to rachunki do jednej całki po odpowiednim przedziale promienia.