całka - płaszczyzna przecina walec eliptyczny

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 31 maja 2013, o 19:37

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{AB} xdx -ydz}\) po krzywej k wzdłuż której płaszczyzna \(\displaystyle{ x+y+z-3=0}\) przecina walec eliptyczny o równaniu \(\displaystyle{ x^2 +4y^2 -4=0}\) skierowany tak, by rzut tej krzywej na płaszczyznę OXY był skierowany dodatnio względem swego wnętrza.

Poprosiłabym z wyjaśnieniem, co tu należy zrobić. Jak będę już miała całkę z jedną niewiadomą zapewne sobie z nią poradzę.

Ser Cubus · Post autor: **Ser Cubus** » 31 maja 2013, o 22:37

narysuj walec, a potem płaszczyznę, krzywa przecięcia tych figur jest tym czego szukasz (skierowana dodatnio, czyli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)

wyznacz granice, zparametryzuj krzywą i do dzieła

yorgin · Post autor: **yorgin** » 31 maja 2013, o 22:53

sea_of_tears pisze: Jak będę już miała całkę z jedną niewiadomą zapewne sobie z nią poradzę.

Co to jest całka z jedną niewiadomą?

Znalezienie krzywej wbrew pozorom trudne nie jest.

Wystarczy sparametryzować współrzędnymi cylindrycznymi walec eliptyczny i podstawić do równania płaszczyzny. Wszystkie współrzędne wychodzą od ręki. A reszta to znajomość wzorku na całkę krzywoliniową zorientowaną.