Obliczyć całkę - sin hiperboliczny

[conseil]

Witam,

mam problem z policzeniem następującej całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \mbox{d}x}\)
No więc robię podstawienie:
\(\displaystyle{ x = sh t}\)
i mam:
\(\displaystyle{ \int \frac{ch^{2}t}{sht} \mbox{d}t = \int \frac{1+sh^{2}t}{sht} \mbox{d}t}\)
I teraz jak, rozbić to na dwie części? To w takim razie jak policzyć \(\displaystyle{ \int \frac{1}{sh t} \mbox{d}t}\)?

[Kamil_B]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sinh t} \mbox{d}t=\int \frac{2e^t}{e^{2t}-1} \mbox{d}t}\) (pomnożyliśmy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e^t}\)). Teraz wystarczy podstawić \(\displaystyle{ u=e^t}\).

[Mariusz M]

Nie lepiej było za sam pierwiastek podstawić ?
Drugie podstawienie Eulera też daje dobre rezultaty,
a nie zabierać się za hiperboliczne nie znając ich

\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{\sinh{t}} \mbox{d}t}=\int{\frac{\sinh{t}}{\sinh^{2}{t}} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{\sinh{t}}{\cosh^{2}{t}-1} \mbox{d}t}=-\int{ \frac{\sinh{t}}{1-\cosh^2{t}} \mbox{d}t }\\
=-\ar\tanh{\left( \cosh{t}\right) }+C}\)