Rozwiązanie całki bez wzorów?

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
lomniak89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 mar 2013, o 17:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Rozwiązanie całki bez wzorów?

Post autor: lomniak89 »

Witam, to mój pierwszy wpis na tym forum i ogólnie pierwszy kontakt z tym tematem, wiec proszę o wyrozumiałość:)
Ostatnio przy nauce fizyki z zakresu liceum spotkałem się z całkami. Mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \Delta\ Ep=- \int_{Xpocz}^{Xkonc}(-kx)dx}\)

Jak zrozumiałem \(\displaystyle{ k}\) jest stała, dlatego się ją przenosi i wychodzi coś takiego:

\(\displaystyle{ =k \int_{Xpocz}^{Xkonc}xdx}\)

Poczytałem trochę w internecie o całkach i znalazłem wzory, o których każdy pisze, że trzeba się ich nauczyć aby umieć rozwiązywać całki. Np taki wzór pasuje do powyższego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{a}dx= \frac{ x^{a+1} }{a+1}+C}\)

Wracając do wzoru z książki od fizyki i patrząc na wzór "gotowiec", wnioskuje że pewnie dlatego autorowi wyszło coś takiego:

\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}k[ x^{2} ]^{Xkonc}_{Xpocz} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \red(1.1)}\)

Po kolejnych poszukiwaniach w internecie i po końcowym wzorze przedstawionym w książce:

\(\displaystyle{ \Delta\ Ep= \frac{1}{2}k x^{2}_{konc}-\frac{1}{2}k x^{2}_{pocz}}\)

Zrozumiałem że to dziwne dla mnie wyrażenie \(\displaystyle{ \red(1.1)}\) można zapisać jako:

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}k( x^{2}_{konc}- x^{2}_{pocz})}\)


Przejdźmy do tego o co chcę zapytać...
Gdy ostatnio czytałem o pochodnej też spotkałem się z gotowymi wzorami na jej wyznaczanie np:

Mamy funkcję: \(\displaystyle{ f(x)= x^{a}}\)

To jej pochodna: \(\displaystyle{ f\prime(x)=a x^{a-1}}\)

Dobre w tym było to, że mając funkcje \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}}\) mogłem zastosować gotowy wzór lub policzyć to sam, ręcznie w ten, mam nadzieje prawidłowy sposób:

\(\displaystyle{ f\prime(x)= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{2}- x^{2} }{h}= \frac{ x^{2}+2ah+ h^{2}- x^{2} }{h}=2a+h=2a+0=2a}\)

Moje pytanie brzmi czy całki też można rozwiązać równie przejrzystą i czytelną metodą, czy tylko stosując te gotowe wzory? Jeśli nie to kto i jak wyznaczył te wzory?

We wszystkich przykładach znalezionych w internecie autorzy mają całkę potem znak \(\displaystyle{ =}\) i gotowe rozwiązanie, co dla osoby, która po raz pierwszy spotyka się z tego typu działaniami jest trudne do zrozumienia(mówię o mnie, może tylko ja tak mam).
Jak dla mnie łatwiej coś zrozumieć jeśli analizuje się czynności wykonywane po kolei, a nie przeskakuje niektóre działania zapewne oczywiste dla doświadczonego nauczyciela.

A może ktoś zna jakąś fajną stronę, albo książkę przeznaczoną dla "laika całkowego", ale nie koniecznie matematycznego.
Jak czytałem o pochodnych to znalazłem np. książkę pt. "Pochodna - jak to zrozumieć?" autor Robert Lorenz, która mi nie mało pomogła.
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Rozwiązanie całki bez wzorów?

Post autor: M Ciesielski »

Z definicji całki Riemanna można się babrać:
waski12a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 18 mar 2020, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Re: Rozwiązanie całki bez wzorów?

Post autor: waski12a »

Hejo,
Jakby co to zanim odpowiedziałem na tego posta, to przeczytałem pobieżnie regulamin i nie ma w nim zakazów odkopywania tematów przed wielu lat, a sama odpowiedź jest niejasna / nie wyczerpuje tematu do końca. Też nie chcę śmiecić i zakładać tematu o tej samej nazwie.

Tak więc ja również, jak i autor wątku, starałem się znaleźć odpowiedź na pytanie jak obliczyć całkę / wyznaczyć funkcję pierwotną bez znajomości jakichkolwiek tablic z wzorami. Co mnie irytuje to to, że już na samym wstępie drugiego tomu "rachunku różniczkowego" Fichtenholza również są podane wzory bez żadnego uzasadnienia skąd one są, jakie jest ich uzasadnienie, skąd mogę wiedzieć, że są one prawdziwe. Tzn wiem, po prostu licząc ich pochodną :), ale wyznaczanie tych wzorów na podstawie zgadywania i przeprowadzania operacji odwrotnych w celu potwierdzenia jakoś do mnie nie przemawia.

Tak więc proszę o szerszą odpowedź jak dany problem można rozwiązać.
Z pozdrowieniami,
ODPOWIEDZ