Ciężka całka

[arezz]

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2-1}{x^2 (x+\frac{1}{x}) \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}} dx}\)

Narazie rozdzieliłem na dwie całki, tylko nie mam pojęcia czy to ma sens. Wolfram nie pokazuje rozwiązania jako funkcji elementarnych, więc czy w ogóle takie rozwiązanie istnieje? Jak to w ogole ruszyć?

Po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}} dx}\)

[yorgin]

Przychodzi mi do głowy genialne podstawienie, które nie mam pojęcia do czego doprowadzi:

\(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ dt=\frac{x^2-1}{x^2}dx}\)

\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2}\)

Spróbuj coś z tym zrobić.

[Fanik]

\(\displaystyle{ \[
\begin{array}{l}
\int {\frac{{x^2 - 1}}{{x^2 \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\sqrt {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} }}} dx = \int {\frac{{x^2 - 1}}{{x^2 \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\sqrt {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2 - 2} }}} dx = \int {\frac{{\frac{{x^2 - 1}}{{x^2 }}}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\sqrt {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2 - 2} }}} dx = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{x^2 }}}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\sqrt {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2 - 2} }}} dx = \\
= \left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{x} = t \\
\left( {1 - \frac{1}{{x^2 }}} \right)dx = dt \\
\end{array} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {t^2 - 2} }}} = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {t^2 - 2} = t - u \\
t^2 - 2 = t^2 - 2tu + u^2 \\
2tu = u^2 + 2 \\
t = \frac{{u^2 + 2}}{{2u}} \\
dt = \frac{{4u^2 - 2u(u^2 + 2)}}{{4u^2 }}du = \frac{{2u^2 - 4u}}{{4u^2 }}du = \frac{{u - 2}}{{2u}}du \\
\end{array} \right\} = \int {\frac{{\frac{{u - 2}}{{2u}}du}}{{\frac{{u^2 + 2}}{{2u}}\left( {\frac{{u^2 + 2}}{{2u}} - u} \right)}}} = \\
= \int {\frac{{u - 2}}{{\left( {u^2 + 2} \right)\left( {\frac{{u^2 + 2}}{{2u}} - u} \right)}}} du = \int {\frac{{2u\left( {u - 2} \right)}}{{\left( {u^2 + 2} \right)\left( {u^2 + 2 - 2u^2 } \right)}}} du = \int {\frac{{2u\left( {u - 2} \right)}}{{\left( {u^2 + 2} \right)\left( {2 - u^2 } \right)}}} du = ... \\
\end{array}
\]}\)

[Zordon]

Jak już masz \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}}\) to podstaw raczej \(\displaystyle{ u^2=t^2-2}\)

[yorgin]

Ja bym dalej podstawił po prostu

\(\displaystyle{ u=\sqrt{t^2-2}}\)

dostając szybko

\(\displaystyle{ \int \frac{du}{u^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{u}{\sqrt{2}}}\)

[Zordon]

Zauważ, że to jest to samo co ja zaproponowałem

[Mariusz M]

Fanik, jezeli koniecznie chcesz stosowac podstawienie Eulera to lepiej drugie

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}t}{t \sqrt{t^2-2} } }\\
\sqrt{t^2-2}=\left( t-2\right)u- \sqrt{2}\\}\)

Wtedy otrzymasz mniej wiecej to co proponuja Zordon i yorgin