calka z wyrazenia wymiernego pod pierwiatkiem

[matiop6]

Czy zna ktos sposob na obliczenie takiej całki?
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{-3x^2+16}{-4x^2+16}} dx}\)

[mechatronik300]

Może podzielenie wielomianów i jakieś podstawienie?

[matiop6]

wlasnie po podzieleniu zostaje i tak bardzo niewygodne wyrazenie z wielomianem drugiego stopnia w mianowniku. jestem jeszcze w liceum i nie mam za bardzo kogo zapytac o pomoc. mozliwe ze nie ma sposobu zeby to rozwiazac?

[mechatronik300]

Ten pierwiastek tu zawadza;P Sposób jest na pewno ale niestety ja go nie znam
Może gdybyś pomnożył i podzielił wyrażenie pod pierwiastkiem żeby wyrównać współczynniki przy "iksach" później dodać i odjąć w liczniku przejść na 1 plus/minus coś ale przyznam że to spekulacje.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{3}{4} \cdot \frac{(-12x ^{2}+64 )}{(-12x ^{2}+48 )} }dx}\)

Co o tym sądzisz?

[Mariusz M]

Czyżby to była całka eliptyczna ?
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{-3x^2+16}{-4x^2+16}} dx\\
=\int{ \frac{-3x^2+16}{ \sqrt{\left( 16-3x^2\right)\left( 16-4x^2\right) } } \mbox{d}x}}\)

a to przypomina całkę eliptyczną (przynajmniej na pierwszy rzut oka)

U Fichtenholza jest jak sprowadzić taką całkę do całek eliptycznych

[matiop6]

wychodzi na to ze to calka eliptyczna.. zastanawiam sie tylko czy moze moglbym skorzystac ze wzoru
na calke eliptyczna rodzaju drugiego postaci Legendre'a.. mozna z wyrazenia uzyskac dlugosc obwodu elipsy? sadze ze tak.. korzystajac ze wzoru na dlugosc krzywej w postaci jawnej \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sqrt {1 + [f'(x)]^2} dx}\) po pszeksztalceniu wychodzi\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+\frac {x^2}{-4x^2+16}dx}\)
teraz policzyc calke z tego \(\displaystyle{ \sqrt{\frac {x^2}{-4x^2+16}}}\) po rozwiazaniu calki \(\displaystyle{ \int \left| \frac {-x} {4\sqrt {1 +\frac{-x^2}{4} }}\right| dx}\) otrzymamy \(\displaystyle{ f(x)=\left| \sqrt {\frac{-x^2}{4} + 1} \right|}\)
wiec rownanie elipsy wychodzi \(\displaystyle{ y^2=1-\frac{x^2}{4}}\).
Czy pomoglby ktos wstawic to do wzoru Legendre'a?? przyznam ze troche go nie rozumiem nie wiem co wyraza kąt fi.. wytlumaczy ktos? i przy okazji powie czy powyzsze przeksztalcenie ma sens? moze jest sposob prostszy? moze to sprowadzenie o ktorym mowil mariuszm

[Fanik]

Kolego możesz powiedzieć skąd taka całka się wzięła? Czy to w wyniku jakichś przekształceń czy treść zadania to po prostu policzyć tę całkę?

[matiop6]

calka pochodzi ze zbioru zadan z lat 60tych nie pamietam tytulu bo oddalem do biblioteki jakis czas temu.. calka byla zapisana jak w poscie pierwszym.. zagladalem do fichtelholz'a jednak jak na pierwsza lekture tak trudnego zagadnienia idzie dosc ciezko.. jesli ktos z forumowiczow potrafi policzyc te calke i ma na tyle czasu/dobrej woli aby (zapisac jakies wyjasnienie)/(rozpisac obliczenia krok po kroku) to bylbym bardzo wdzieczny..

[Legisl]

Jest to całka eliptyczna niezupełna drugiego rodzaju. Najpierw podstawmy \(\displaystyle{ u=\arcsin\bigg(\frac{x} {2}\bigg)}\) wtedy: \(\displaystyle{ \frac{du} {dx}=\frac{1} {2\sqrt{1-\frac{x^2} {4}}} \Rightarrow dx=2\sqrt{1-\frac{x^2} {4}}du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1} {2} \int \frac{\sqrt{16-3x^2}} {\sqrt{4-x^2}}\cdot 2\sqrt{1-\frac{x^2} {4}}du=\int \frac{\sqrt{16-7x^2+\frac{3} {4}x^4}} {\sqrt{4-x^2}}du}\)
Skorzystajmy z własności: \(\displaystyle{ \sin(\arcsin x)=x}\) w naszym przypadku \(\displaystyle{ \sin(u)=\frac{x} {2} \Rightarrow 4\sin^2(u)=x^2}\) podstawiając:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{16-7(4\sin^2 u)+\frac{3} {4}(4\sin^2 u)^2}} {\sqrt{4-4\sin^2 u}}du=\int \frac{\sqrt{16-28\sin^2 u+12\sin^4 u}} {\sqrt{4-4\sin^2 u}}du=\int \frac{\sqrt{4-7\sin^2 u+3\sin^4 u}} {\sqrt{1-\sin^2 u}}du}\)
Skorzystajmy z kolejnej własności: \(\displaystyle{ \cos^2 x=1-\sin^2 x}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{4-7(1-\cos^2 u)+3(1-\cos^2 u)^2}} {\sqrt{\cos^2 u}}du=\int \frac{\sqrt{\cos^2 u+3\cos^4 u}} {\sqrt{\cos^2 u}}du=\int \sqrt{1+3\cos^2 u}\quad du}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+3\cos^2 u}\quad du=\int \sqrt{1+3(1-\sin^2 u)} du=\int \sqrt{4-3\sin^2 u}\quad du=2\int \sqrt{1-\frac{3} {4}\sin^2 u}\quad du}\)
Ostatecznie jak widać ta całka jest całką eliptyczną niezupełną drugiego rodzaju, ponieważ wzór takiej całki jest następujący:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{(1-k^2\sin^2 \phi)}d\phi\quad k\in(0,1)}\)