Całka oznaczona, całka Riemanna

dumek93 · Post autor: **dumek93** » 19 sty 2013, o 22:40

Witam!
Potrzebuję pomocy w opracowaniu zagadnień do egzaminu:
"Skomentuj różnice pomiędzy całką oznaczoną (w sensie Newtona-Leibniza), a całką Riemanna."

Pozdrawiam i dziękuję za pomoc

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 sty 2013, o 20:29

Zobacz jakie założenia są potrzebne. W całce Riemanna dla całkowalności wystarczy, żeby funkcja ograniczona miała zbiór punktów nieciągłości miary zero. Dla wzoru Newtona-Leibniza są potrzebne mocniejsze założenia.

dumek93 · Post autor: **dumek93** » 20 sty 2013, o 23:49

A mógłbyś mi podać te założenia? Szukam w książkach i nic sensownego nie mogę znaleźć, bo dużo autorów traktuje całkę oznaczoną jako całkę Riemanna i nie rozróżnia jej z całką Newtona-Leibniza...

Wiem tyle, że jeśli funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale domkniętym [a,b], to ma na tym przedziale funkcję pierwotną F i jej całka Riemanna ma wartość F(b) – F(a).

Pomóż, proszę

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 21 sty 2013, o 12:02

Nie istnieje pojęcie całki Newtona-Leibniza. Jest natomiast całka oznaczona zwana całką Riemanna, a wzór Newtona-Leibniza jest jednym z narzędzi, za pomocą których się tę całkę oblicza. Musi tu istnieć funkcja pierwotna. Natomiast np. funkcja \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\) dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\), a nie ma w tym przedziale funkcji pierwotnej.

dumek93 · Post autor: **dumek93** » 21 sty 2013, o 12:34

Dzięki bardzo! W końcu to porządnie zrozumiałam