Oblicz całkę funkcji trygonometrycznej :
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \left( 1-\cos x \right) \cdot \left( 2 + \sin x \right) }}\)
Całka funkcji trygonometrycznej
-
Macius700
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 11 maja 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 27 razy
Całka funkcji trygonometrycznej
Ostatnio zmieniony 18 sty 2013, o 18:59 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Macius700
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 11 maja 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 27 razy
Całka funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ t=tg \frac{x}{2}}\) , \(\displaystyle{ sinx=\frac{2t}{1+t^2}}\) , \(\displaystyle{ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}}\) i \(\displaystyle{ dx=\frac{2dt}{1+t^2}}\) takie?
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(1-cosx) \cdot (2 + sinx)}=)}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{(1-\frac{1-t^2}{1+t^2}) (2+\frac{2t}{1+t^2})}=\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t^2}{1+t^2} \cdot \frac{2t^2+2t+2}{1+t^2}}= \int \frac {2dt}{ \frac{2t^2 \cdot (2t^2+2t+2)}{1+t^2}}}\)
nie wiem co dalej z tym zrobić-- 18 stycznia 2013, 21:00 --wie ktoś co z tym dalej robić ?
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(1-cosx) \cdot (2 + sinx)}=)}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{(1-\frac{1-t^2}{1+t^2}) (2+\frac{2t}{1+t^2})}=\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t^2}{1+t^2} \cdot \frac{2t^2+2t+2}{1+t^2}}= \int \frac {2dt}{ \frac{2t^2 \cdot (2t^2+2t+2)}{1+t^2}}}\)
nie wiem co dalej z tym zrobić-- 18 stycznia 2013, 21:00 --wie ktoś co z tym dalej robić ?
Ostatnio zmieniony 18 sty 2013, o 19:04 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
mario54
- Użytkownik
- Posty: 276
- Rejestracja: 3 cze 2011, o 19:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 77 razy
Całka funkcji trygonometrycznej
Tak, dobrze.
No teraz mianownik mianownika do góry
\(\displaystyle{ \int \frac{2(1+t^2)dt}{4t^2(t^2+t+1)} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^2(t^2+t+1)}dt}\)
I należy wykonać rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t^2(t^2+t+1)} = \frac{A}{t^2}+ \frac{B}{t}+ \frac{Ct+D}{t^2+t+1}}\)
No teraz mianownik mianownika do góry
\(\displaystyle{ \int \frac{2(1+t^2)dt}{4t^2(t^2+t+1)} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^2(t^2+t+1)}dt}\)
I należy wykonać rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t^2(t^2+t+1)} = \frac{A}{t^2}+ \frac{B}{t}+ \frac{Ct+D}{t^2+t+1}}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całka funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \left( 1-\cos x \right) \cdot \left( 2 + \sin x \right) }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \left( 1-\cos x \right) \cdot \left( 2 + \sin x \right) }=\\
\int{ \frac{1+\cos{x}}{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } }+\int{ \frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{2-\sin{x}}{\sin^{2}{x}\left( 4-\sin^{2}{x}\right) }\mbox{d}x}+\int{ \frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{2}{\sin^{2}{x}\left( 3+\cos^{2}{x}\right) }\mbox{d}x}+\int{\left( -\sin{x}\right) \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)\left( 3+\cos^2{x}\right) } }+\int{\cos{x} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} \cdot \frac{2\left( \tan^{2}{x}+1\right) }{\tan^{2}{x}\left( 4+3\tan^{2}{x}\right) } }+\int{\left( -\sin{x}\right) \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)\left( 3+\cos^2{x}\right) } }+\int{\cos{x} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } }\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \left( 1-\cos x \right) \cdot \left( 2 + \sin x \right) }=\\
\int{ \frac{1+\cos{x}}{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } }+\int{ \frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{2-\sin{x}}{\sin^{2}{x}\left( 4-\sin^{2}{x}\right) }\mbox{d}x}+\int{ \frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{2}{\sin^{2}{x}\left( 3+\cos^{2}{x}\right) }\mbox{d}x}+\int{\left( -\sin{x}\right) \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)\left( 3+\cos^2{x}\right) } }+\int{\cos{x} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} \cdot \frac{2\left( \tan^{2}{x}+1\right) }{\tan^{2}{x}\left( 4+3\tan^{2}{x}\right) } }+\int{\left( -\sin{x}\right) \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1-\cos^{2}{x}\right)\left( 3+\cos^2{x}\right) } }+\int{\cos{x} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}\left( 2+\sin{x}\right) } }\\}\)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2013, o 22:39 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Macius700
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 11 maja 2008, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 27 razy
Całka funkcji trygonometrycznej
wyszło mi :
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \ln|x|-\frac{1}{2t}+\frac{1}{2} \int \frac{t+1}{t^2+t+1}dt}\)
Nie wiem jak obliczyć tą całkę
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \ln|x|-\frac{1}{2t}+\frac{1}{2} \int \frac{t+1}{t^2+t+1}dt}\)
Nie wiem jak obliczyć tą całkę
-
miodzio1988
Całka funkcji trygonometrycznej
liczymy od razu deltę mianownika i zależnie od tego wybieramy metodę
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całka funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t^2(t^2+t+1)}= \frac{t^2+1+t-t}{t^2\left( t^2+t+1\right) } \\
=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t\left( t^2+t+1\right) }\\
=\frac{1}{t^2}-\frac{1+t+t^2-t-t^2}{t\left( t^2+t+1\right) }\\
=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}+\frac{t+1}{t^2+t+1}}\)
Dążysz do tego aby w liczniku mieć pochodną mianownika
Po rozbiciu na sumę będziesz miał sumę logarytmu i arcus tangensa
=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t\left( t^2+t+1\right) }\\
=\frac{1}{t^2}-\frac{1+t+t^2-t-t^2}{t\left( t^2+t+1\right) }\\
=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}+\frac{t+1}{t^2+t+1}}\)
Dążysz do tego aby w liczniku mieć pochodną mianownika
Po rozbiciu na sumę będziesz miał sumę logarytmu i arcus tangensa