Kilka całek podwójnych - sprawdzenie

[jaczek]

Witam,
proszę o sprawdzenie moich obliczeń i ewentualnie wskazanie etapu, na którym popełniłem błąd.
Każdy podpunkt składa się z treści zadania i mojego skróconego rozwiązania. Najważniejsze jest dla mnie, czy granice całkowania zostały określone poprawnie (dla tych, którym nie chce się liczyć całek).


1) Obliczyć
\(\displaystyle{ \iint_{D}(2x-8y)dxdy}\)

gdzie obszar D jest ograniczony prostymi:
\(\displaystyle{ x=-1, x=2, y=0, y=2}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{2}dx\int\limits_{0}^{2} (2x-8y) dy = ...=-42}\)

2) Obliczyć
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x^2+y^2)^2dxdy}\)

gdzie obszar D jest wyznaczony przez:
\(\displaystyle{ x^2+y^2\le1}\), \(\displaystyle{ x\ge0}\), \(\displaystyle{ y\ge0}\)

zamiana na współrzędne biegunowe i
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}r^5dr\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi = ...=\frac{\pi}{12}}\)

3) Obliczyć
\(\displaystyle{ \iint_{D}(2xy+e^x)dxdy}\)

gdzie \(\displaystyle{ D:}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le x \le 1\\0\le y \le2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{2} (2xy+e^x) dy = ...=e^2-1}\)

4) Obliczyć
\(\displaystyle{ \iint_{D}(2x+2)dxdy}\)

gdzie obszar D ograniczony jest przez: \(\displaystyle{ y=x^2, y=2-x}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{2-x} (2x+2) dy = ...=-7,5}\)


5) Obliczyć
\(\displaystyle{ \iint_{D}(2y+x)dxdy}\)

gdzie obszar D jest trójkątem ABC o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(0,0); B(2,2); C(0,2)}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{x}^{2} (2y+x) dy = ...=6\frac{2}{3}}\)


6) Obliczyć
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x^2+y^2)^2dxdy}\)

gdzie obszar D wyznacza \(\displaystyle{ x^2+y^2\le9}\)

zamiana na współrzędne biegunowe i
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}r^5dr\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi = ...=3^5\pi}\)

7) Obliczyć za pomocą całki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi
\(\displaystyle{ y=x^2-2x, y=2-x}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{2}dx\int\limits_{x^2-2x}^{2-x} dy = ...=4\frac{1}{2}}\)

[Lbubsazob]

1) Dobrze
2) Dobrze
3) Granice całkowania masz dobre, ale wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ 2e}\)
4) Tak samo jak wyżej, ale powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{9}{2}}\)
5) Dobrze
6) Powinno być \(\displaystyle{ \int_{0}^{\red{3}\black}\int_0^{2\pi}r^5 \ \mbox{d}\varphi \mbox{d}r}\), ale to chyba błąd w zapisie, bo wynik wyszedł Ci poprawny
7) Dobrze