Trygonometryczna całka
: 29 sie 2012, o 20:59
Mam do policzenia:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}}\)
Dopełniam mianownik do kwadratu i dostaję:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{(\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 -2\sin ^2 x \cos^2 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{1-2\sin ^2 x \cos^2 x}}\)
Teraz wykonuję podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx \Rightarrow dt=\cos x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {tdt}{1-t^2(1-t^2)}=\int \frac{tdt}{(\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}}}\)
Robię kolejne podstawienie: \(\displaystyle{ a=\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow da=2\sqrt2 tdt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt2} \int \frac{da}{a^2+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt2} \sqrt2 \arctg (\sqrt2 a) +C =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\arctg (\sqrt2\cdot (\sqrt2 t^2 -\frac{\sqrt2}{2})+C=\frac{1}{2}\arctg(2\sin ^2 x - 1) +C}\)
...i zgadza się wszystko za wyjątkiem argumentu arcustangensa, który powinien być \(\displaystyle{ \tg ^2 x}\).
Będę wdzięczny za wskazanie błędu.
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}}\)
Dopełniam mianownik do kwadratu i dostaję:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{(\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 -2\sin ^2 x \cos^2 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{1-2\sin ^2 x \cos^2 x}}\)
Teraz wykonuję podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx \Rightarrow dt=\cos x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {tdt}{1-t^2(1-t^2)}=\int \frac{tdt}{(\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}}}\)
Robię kolejne podstawienie: \(\displaystyle{ a=\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow da=2\sqrt2 tdt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt2} \int \frac{da}{a^2+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt2} \sqrt2 \arctg (\sqrt2 a) +C =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\arctg (\sqrt2\cdot (\sqrt2 t^2 -\frac{\sqrt2}{2})+C=\frac{1}{2}\arctg(2\sin ^2 x - 1) +C}\)
...i zgadza się wszystko za wyjątkiem argumentu arcustangensa, który powinien być \(\displaystyle{ \tg ^2 x}\).
Będę wdzięczny za wskazanie błędu.