całka potrójna

[mekeyn]

witam, mam problem z tym zadaniem

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \sqrt{ x^{2} + y^{2} + z^{2} }dxdydz}\), gdzie bryła \(\displaystyle{ V}\) ograniczona jest powieszchnią \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z}\) . Odp \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{10}}\)


objętość wychodzi mi ujemna i nie jest nawet zbliżona do odp. Używam tutaj wsółrzędnych sferycznych II typu, ograniczenia \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2 \pi , 0 \le \theta \le \pi , 0 \le \rho \le \frac{1}{2}}\)

porszę a wskazanie mi błędu, badź wsazówki, dzięki : )

[szw1710]

Złe granice całkowania jako że obszar jest kulą, ale nie o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0).}\)

[mekeyn]

ograniczenie \(\displaystyle{ \verphi}\) jest dobrze, tak samo \(\displaystyle{ \theta}\), chociaz wlasnie w tych granicach tety objetosc wychodzi mi ujemna po sinus z jakobianu zamienia sie na cos i wtedy lipa. Promień?
Prosze o pomoc dzięki

[aalmond]

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + z^{2} = z \\
x^{2} + y^{2} + \left ( z - \frac{1}{2} \right ) ^{2} = \frac{1}{4}}\)

granice dla \(\displaystyle{ \rho}\) i \(\displaystyle{ \theta}\) masz złe

[Chromosom]

Przede wszystkim, wykonaj rysunek. Można też zastosować współrzędne walcowe, chociaż sferyczne wydają się być lepszym wyborem.

[szw1710]

Żeby poczuć ideę proponuję zadanie rozgrzewkowe: obliczyć, powiedzmy

\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)\dd x\dd y,}\)

gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest kołem ograniczonym okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x.}\) Wskazówka: zastosować współrzędne biegunowe. Granice całkowania nie są stałe ze względu na obie zmienne.

[mekeyn]

wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{256}{9}}\) granice calkowania \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{ \pi }{2} , 0 \le r \le 4\cos{\varphi}}\)

[szw1710]

W tym moim rozgrzewkowym? Zaraz sprawdzę, choć wydaje mi się na oko, że ma być \(\displaystyle{ 0\le r\le 2\cos\varphi,}\) ale głowy sobie uciąć nie dam. Poczekaj moment.

Dobrze mówię. Dla kąta zakres zmienności masz OK. Dochodzimy do całki

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4\cos^4\varphi\dd\varphi=\frac{3}{2}\pi.}\)

W każdym razie teraz chyba widzisz, że Twoje wyjściowe zadanie jest ideowo podobne.

[mekeyn]

moja skucha, źle przepisałem stopień potęgi dla \(\displaystyle{ r}\), wychodzi tak jak Ty masz : )-- 13 lip 2012, o 22:19 --ok, udało mi się rozwiązać zadanie, lecz mam pytanie. Dla czego granica \(\displaystyle{ \theta}\) musi być od
\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \pi}\)? Promień wzgledam dodatniego kierunku osi Z musi zatoczyć kąt pełny żeby "narysować" kontur sfery a nie pół?
Prosze o rowzianie mych wątpliowści.

[aalmond]

Odpowiedz sobie na dwa pytania:
co to jest \(\displaystyle{ \theta}\) ?
jakie jest położenie kuli \(\displaystyle{ V}\) względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \mbox{0xy}}\)

[johanneskate]

Mam problem z określaniem granic r, przy kole nie będącym w środku układu współrzędnych. Jak się dochodzi do tego warunku z \(\displaystyle{ r \le 2 \cos x}\) ?

[miodzio1988]

wstawiając dane podstawienie do odpowiedniego równania