całka potrójna, sferyczne

[Paula555]

Obliczyc Całke potrojna\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{}^{} z ^{2}dxdydz}\)
\(\displaystyle{ U= \left\{ \left( x,y,z\right) : \sqrt{x ^{2} +y ^{2}} \le z \le \sqrt{5-x ^{2}-y ^{2} } ,x \ge 0 \right\}}\)

Mamy stożek ograniczony z góry półsferą i \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

wychodzi mi taka całka
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{-\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }d\varphi \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }d\psi \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{5}{2} } }r ^{2}\cos ^{2} \psi \cdot r ^{2}\sin \psi dr}\)

Mam nadzieje, ze przedziały sa dobre.
Bardzo prosze o sprawdzenie i ewentualna podpowiedz jak obliczyc taka calke.

[luka52]

Źle, \(\displaystyle{ \psi \in (0, \tfrac{\pi}{4})}\).

[Paula555]

tak tak, źle przepisałam dzięki

[johanneskate]

Czy rozwiązaniem tego równania może być również taka całka:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi} \mbox{d} \alpha \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{5}{2}} } \mbox{d}r \int_{r}^{ \sqrt{5-r} } r ^{3} dz}\)

?

[luka52]

johanneskate, a jakiego równania niby?
Jeśli chodzi o obliczenie całki z zadania to nie, źle zapisana jest ta całka we wsp. walcowych.

[johanneskate]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi} \mbox{d} \alpha \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{5}{2}} } \mbox{d}r \int_{r}^{ \sqrt{5-r} } r z^{2} dz}\)

?

[luka52]

Prawie, górna granica całkowania względem \(\displaystyle{ z}\) jest zła.

[johanneskate]

Zamiast r powinno być \(\displaystyle{ r^{2}}\). I poza tym gitara gra?

[luka52]

Tak.