Calka z funkcji, ktorej lim=0.

[binaj]

Załóżmy, że pochodna funkcji \(\displaystyle{ f in C^{1} (left[0, infty
ight) )}\) jest ograniczona oraz, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} |f(x)| < \infty}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } f(x) = 0.}\)

[Adifek]

@down
Słusznie, już chyba przeszedłem w tryb wakacyjny

[Wasilewski]

To bardzo ciekawe, ale nie ma takich warunków koniecznych.
Jeśli chodzi o zadanie, to powiedzmy, że ta pochodna jest ograniczona przez \(\displaystyle{ M}\). Załóżmy nie wprost, że dowolnie daleko możemy znaleźć punkt \(\displaystyle{ y}\) taki, że \(\displaystyle{ f(y)> \varepsilon}\) (dla wygody wybieram punkt o dodatniej wartości). Z porównania pochodnych wynika, że na przedziale \(\displaystyle{ [y - \frac{\varepsilon}{M}, y]}\) mamy szacowanie \(\displaystyle{ f(x) \geqslant \varepsilon - M(x-y)}\), zatem po scałkowaniu:
\(\displaystyle{ \int_{y - \frac{\varepsilon}{M}}^{y} f(x) \geqslant \frac{\varepsilon^{2}}{2M}}\),
co już stanowi sprzeczność, ponieważ:
\(\displaystyle{ \int_{v}^{\infty} |f(x)|dx \mathop{\longrightarrow}_{v \to \infty} 0}\).