Wyznaczyć długość łuku:

[mariusz689]

Wyznaczyć długość łuku:
wzory znam, mam problem z obliczeniem całki lub też pochodnej bo mi brzydko wychodzi:

\(\displaystyle{ f(x)=x \sqrt{x^ {-1}} -\ln \left( x+ \sqrt{x^2 -1} \right)}\)

Wyszła mi pochodna:


\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 -1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 -1}} - \frac{1}{x+ \sqrt{x^2 -1}} - \frac{x}{ \left( x+ \sqrt{x^2 -1} \right) \left( \sqrt{x^2 -1} \right) }}\)

łuk muszę obliczyć w przedziale \(\displaystyle{ [1,2]}\) a z tego co mi wyszła trudno będzie liczyć całkę, może ktoś to sprawdzić? może gdzieś popełniłem błąd w liczeniu pochodnej?

[Lorek]

Domyślam się, że w tej funkcji zamiast \(\displaystyle{ x\sqrt{x^{-1}}}\) powinno być \(\displaystyle{ x\sqrt{x^2-1}}\) ?
\(\displaystyle{ \bigg(\ln \left( x+ \sqrt{x^2 -1} \right)\bigg)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\)

[Malutka_Ida]

Sprawdziłam pochodną i wychodzi mi inaczej niż Tobie.
Otóż:

\(\displaystyle{ 1* \sqrt{x ^{-1} } + x* \frac{1}{2 \sqrt{x ^{-1} } }*(-1)*x ^{-2}- \frac{1}{x+ \sqrt{x ^{2}-1 } }*(1+ \frac{1}{2 \sqrt{x ^{2}-1 }}*2*x)}\)

Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{-1} } - \frac{1}{2 \sqrt{x ^{-1} } } - \frac{1}{ \sqrt{x ^{2}-1 } }}\)


Mam nadzieję, że się nie pomyliłam przy przepisywaniu z kartki...

[mariusz689]

pomyliłem się tam powinno być \(\displaystyle{ x\sqrt{x^2-1}}\)

Więc wychodzi całka \(\displaystyle{ \frac{2x^ -2}{ \sqrt{x^2 -1} }}\) tak ?

[Malutka_Ida]

Pochodna wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2*x ^{2}-2 }{ \sqrt{x ^{2}-1 } }}\)

[anna_]

Pochodna wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2*x ^{2}-2 }{ \sqrt{x ^{2}-1 } }}\)

Ja bym to jeszcze uprościła do postaci:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{(x^2-1)}}\)

[mariusz689]

zapomniałem przepisać do kwadratu, ok: \(\displaystyle{ \frac{2x^2 -2}{ \sqrt{x^2 -1} }}\)

\(\displaystyle{ 2 \frac{1x^2 -1}{ \sqrt{x^2 -1} }}\)

robię podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2 -1}\)

Dochodzę do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{dt}{ \sqrt{t+1} \sqrt{t} }}\) i jak dalej to wyliczyć ?

[Lorek]

Co, już całkujesz? A jedynkę to kto doda pod pierwiastkiem?

[mariusz689]

gdzie jedynkę? źle wyliczyłem całkę ?

[Malutka_Ida]

Jedynka jest we wzorze na długość łuku

[mariusz689]

Pięknie już się wszystko uprościło. Dzięki za pomoc łuk wyliczony