Obliczanie całki potrójnej

[marcinek16marcin]

\(\displaystyle{ \int \int \int (x ^{2}+y^{2}) dxdydz}\)

gdzie \(\displaystyle{ V: \begin{cases} x ^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x ^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{cases}}\)


Granice całkowania: \(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le \psi \le \pi \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \\ 1\le r \le 2\end{cases}}\)

[octahedron]

Granice są dobrze.

[marcinek16marcin]

A mógłbyś policzyć tą całkę? bo chyba nie powinno wyjść zero, a właśnie tak mi wychodzi.

[miodzio1988]

pokaż jak liczysz

[marcinek16marcin]

Na początek robię podstawienie żeby przejść na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos\psi\cos\varphi\\ y=r\sin\psi\cos\varphi \\ z=r\sin\psi\end{cases}}\)

Jakobian tego przekształcenia jest równy\(\displaystyle{ J=r ^{2}\cos\psi}\).?


Już wiem: skoro wziąłem to przekształcenie to moje granice trochę się zmienią,mianowicie:\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{\pi}{2} \le \psi \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \\ 1\le r \le 2\end{cases}}\).

Wynik całki to =\(\displaystyle{ \frac{248}{15}\cdot\pi}\)

[octahedron]

Jak dla mnie

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\sin\psi\cos\varphi\\ y=r\sin\psi\sin\varphi \\ z=r\cos\psi\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ J=r^2\sin\psi}\)

[marcinek16marcin]

Twoje też jest poprawne tylko że mój kąt to jest kąt pomiędzy płaszczyzną OX a promieniem wodzącym, a dla Twojego przekształcenia kąt jest określony jako między osią Z a promieniem wodzącym:) Dzięki za pomoc. Pozdrawiam.