Obliczanie całki potrójnej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
marcinek16marcin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Marcelino chleb i wino
Podziękował: 153 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: marcinek16marcin »

\(\displaystyle{ \int \int \int \frac{dxdydz}{x ^{2}+y^{2}+z^{2} }}\)

gdzie \(\displaystyle{ V: \begin{cases} 4 \le x ^{2}+y^{2}+z^{2}v \le 9 \\ y \ge 0 \wedge z \le 0 \end{cases}}\)

Moje pytanie: czy dobrze opisałem granice całkowania: \(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{\pi}{2} \le \psi \le 0 \\ 0 \le \varphi \le \pi \\ 2 \le r \le 3\end{cases} ?}\)


Czy raczej powinno być :\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le \psi \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le \varphi \le \pi \\ 2 \le r \le 3\end{cases}}\)?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ y=r\sin\theta\sin\varphi>0\Rightarrow \sin\varphi>0\Rightarrow 0<\varphi<\pi\\\\
z=r\cos\theta<0\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\theta<\pi}\)
marcinek16marcin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Marcelino chleb i wino
Podziękował: 153 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: marcinek16marcin »

Jak wyliczyleś \(\displaystyle{ \theta}\)?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: octahedron »

Cosinus ma być ujemny, stąd taki zakres kąta.
marcinek16marcin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Marcelino chleb i wino
Podziękował: 153 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: marcinek16marcin »

A czemu ujemny? bo nie do konca to rozumiem.
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: octahedron »

W zasadzie nie ujemny, tylko niedodatni, bo ma być \(\displaystyle{ z\le 0}\), a mamy \(\displaystyle{ z=r\cos\theta}\)
marcinek16marcin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Marcelino chleb i wino
Podziękował: 153 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: marcinek16marcin »

Z tego równania wyznaczyleś wartość cosinusa?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Obliczanie całki potrójnej

Post autor: octahedron »

Tak, biorę zakres kątów, dla któych jest ujemny lub zero.
ODPOWIEDZ