Pole obszaru ograniczonego krzywymi

[marcinek16marcin]

\(\displaystyle{ \int \int x dxdy}\) , Krzywe są następujące: \(\displaystyle{ y=x ^{2} \ i \ y=-x ^{2}+2x+4}\)

Czy jeżeli obszar zapisze w takiej postaci to będzie dobrze? \(\displaystyle{ \begin{cases} -1 \le x \le 2 \\ x ^{2} \le y \le -x ^{2}+2x+4 \end{cases}}\)

[MichalPWr]

Tak. Z tym, że chcą obliczyć obszar za pomocą całki podwójnej, całkujemy jedynkę.

[marcinek16marcin]

Masz na myśli taki zapis: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x dx \int_{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 } dy}\) ?. Zapytam się jeszcze o jedną rzecz: w tym przykładzie nie trzeba rozbijać tego obszaru na kilka mniejszych bo z rysunku czysto wynika że od dołu ograniczony jedną funkcją a od góry drugą?

[MichalPWr]

W tym przypadku nie trzeba tak robić. Bo przecież jest to obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Gdybyś chciał się trochę napracować to możesz sobie rozbić tą samą całkę na kilka względem osi \(\displaystyle{ OY}\).
Jak już wyżej napisałem, aby obliczyć obszar za pomocą całki podwójnej całkujemy "jedynkę". Twoja całka powinna wyglądać tak: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} dx \int_{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 }dy}\)

Z rysunku jasno wynika, że nie trzeba rozbijać tego obszaru na kilka innych:

[marcinek16marcin]

Nie za bardzo rozumiem co znaczy całkować 'jedynkę' , czy przed dx nie zgubileś x? bo w pierwotnym wzorze całki z mojego przykładu on wystepuje?

[MichalPWr]

W tym rzecz, że \(\displaystyle{ x}\) nie powinno tam być, jeśli oczywiście chcemy obliczyć pole obszaru. Całkować jedynkę mam na myśli np: \(\displaystyle{ \int \int_{D}1 \cdot dxdy}\)

[marcinek16marcin]

Więc tak: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x dx \int_{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 } dy=\int_{-1}^{2} x dx \cdot y\Bigg| _{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 } = \int_{-1}^{2} x \cdot (-2x ^{2}+2x+4)dx=...= \frac{9}{2}}\) źle robię?

[MichalPWr]

Mówiłem, że tego \(\displaystyle{ x}\) nie powinno być...

\(\displaystyle{ P=\int_{-1}^{2} dx \int_{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 }dy=...}\)

Najpierw całka po \(\displaystyle{ dy}\)

\(\displaystyle{ \int_{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 }dy=-x ^{2}+2x+4-x ^{2}=-2x ^{2}+2x+4}\)

Teraz po \(\displaystyle{ dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} \left( -2x ^{2}+2x+4\right) dx=\left[ - \frac{2x^{3}}{3}+x^{2}+4x\right]_{-1}^{2}=9}\)


\(\displaystyle{ P=\int_{-1}^{2} dx \int_{x ^{2}}^{-x ^{2}+2x+4 }dy=9}\)

[marcinek16marcin]

W porządku, tylko ja nadal nie rozumiem na podstawie jakiego twierdzenia można pominąć x w obliczeniach?

[MichalPWr]

Żadnego To jest najprawdopodobniej błąd w druku. Chyba, że masz policzyć objętość.

[marcinek16marcin]

To jest przykład z kolosa , nie przepisywałem go osobiście, a polecenie brzmi oblicz całkę podwójną;) W takim razie dzięki za pomoc.

[MichalPWr]

Jeśli masz polecenie: oblicz całkę podwójną to zupełnie co innego! W takim razie może być jakaś funkcja podcałkowa.

btw. W temacie masz napisane, oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi. W takim przypadku nie może być iksa.

[marcinek16marcin]

W takim wypadku moje rozwiązanie jest ok? Przepraszam za pomyłkę..

[MichalPWr]

Masz dobrze

[marcinek16marcin]

W takim razie ponownie dziękuje za pomoc;)