całka podwójna z min i E(x)

[Kanodelo]

obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach:
a) \(\displaystyle{ \iint_D \min(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,2\right]}\)

b) \(\displaystyle{ \iint_D E(x+y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\left[ 0,2\right] \times \left[ 0,2\right]}\)


a) ponieważ \(\displaystyle{ \min(x,y)= \begin{cases}x \ \text{dla} \ x<y \\ y \ \text{dla} \ x>y \end{cases}}\)
to trzeba policzyć coś takiego
\(\displaystyle{ \int_0^1\int_0^x x\mbox{d}y \mbox{d}x +\int_0^1\int_x^2y \mbox{d}y \mbox{d}x}\)

b) ponieważ \(\displaystyle{ E(x+y)= egin{cases} 0 ext{dla} x+yin[0,1) \ 1 ext{dla} x+yin[1,2) \ 2 ext{dla} [2,3) end{cases}}\)
to całka będzie wyglądała
\(\displaystyle{ \int_0^1\int_0^2 0 \mbox{d}y \mbox{d}x +\int_1^2\int_0^2 1 \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
proszę o sprawdzenie

[szw1710]

Pierwsze mniej więcej OK, nie sprawdzałem szczegółowo w którym trójkącie na czym minimum jest realizowane, lecz metoda dobra.

Drugie nie tak. Bo skoro ta całość realizuje się na \(\displaystyle{ a+y}\), to prostą \(\displaystyle{ x+y=a}\) będziesz przesuwać w górę i rozdział kwadratu będzie na też na dwa trójkąty i chyba dwa trapezy.

[Kanodelo]

ale skąd to \(\displaystyle{ a}\) się wogóle wzieło? Przecież mamy funkcje \(\displaystyle{ E(x+y)}\), więc myślałem że trzeba narysować \(\displaystyle{ x+y=0}\), ale to nie należy do tego przedziału jaki jest wzadaniu.

Prosze o jeszcze jakąś podpowiedź do drugiego, bo nie mam pojęcia nawet skąd to się bierze.

[szw1710]

Więc masz \(\displaystyle{ E(x+y)=0}\) dla \(\displaystyle{ 0\le x+y<1}\), czyli w trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(1,0),(0,1)}\). To pierwszy trójkąt.

Dalej masz \(\displaystyle{ E(x+y)=1}\) dla \(\displaystyle{ 1\le x+y< 2}\), czyli w trapezie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1,0),(0,1),(0,2),(2,0)}\). Wyczuwasz sprawę? W analogicznym trapezie masz \(\displaystyle{ E(x+y)=2}\) i podobnie na trójkącie 3. Narysuj to sobie.

Więc całka to suma pól tych figur mnożona przez odpowiednie liczby.

Trójkąty mają pola \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a trapezy \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\). Całka wynosi więc

\(\displaystyle{ 0\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{3}{2}+2\cdot\frac{3}{2}+3\cdot\frac{1}{2}=6.}\)

[Lbubsazob]

W tej pierwszej całce to chyba powinno być odwrotnie, tzn.
\(\displaystyle{ \int_0^1\int_0^x \color{red}y\color{black} \ \mbox{d}y \ \mbox{d}x +\int_0^1\int_x^2\color{red}x\color{black} \ \mbox{d}y \ \mbox{d}x}\)

[Kanodelo]

Lbubsazob chyba nie, bo takie coś będzie dla całki z \(\displaystyle{ \max(x,y)}\)

[Lbubsazob]

No właśnie nie. Dla \(\displaystyle{ \max(x,y)}\) by było:
\(\displaystyle{ \max(x,y)= \begin{cases} x, \ x>y \\ y, \ x<y \end{cases}}\)
czyli tam, gdzie \(\displaystyle{ x>y}\), \(\displaystyle{ y}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) i mamy całkę z \(\displaystyle{ x}\), a tam, gdzie \(\displaystyle{ x<y}\), \(\displaystyle{ y}\) jest pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ 2}\) i mamy całkę z \(\displaystyle{ y}\).

[CaffeeLatte]

Wie ktoś może czy @Lbubsazob ma rację?

[Dasio11]

Ma rację.