Oblicz całkę

[Robson1416]

Jak policzyć taką całkę ? Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \int e^{at} \cdot \sin ( bt) \mbox{d}t}\)

[aalmond]

dwa razy przez części

[Robson1416]

dwa razy przez części

Można prosić pierwsze rozwinięcie przez części tzn \(\displaystyle{ f(x) = ... ; f'(x) = ...}\) itd.

[aalmond]

\(\displaystyle{ f'(x) = e ^{at} \ \ \ \ \ \ \ g(x) = \sin (bt) \\
f(x) = \frac{1}{a} \cdot e ^{at} \ \ \ g'(x) = b \cdot \cos (bt)}\)

[Robson1416]

czyli ... \(\displaystyle{ \frac{1}{a} \cdot e ^{at} \cdot \sin (bt) - \int_{}^{} e ^{at} \cdot \sin (bt) =
(*) = \frac{1}{a} \cdot e ^{at} \cdot \sin (bt) + \frac{1}{a} \cdot e ^{at} \cdot \cos (bt) - \int_{}^{} e ^{at} \cdot \sin (bt)}\)

I ciągle się powtarza ta druga całka. Jak to zakończyć ? Mam nadzieję, że nie pomyliłem się nigdzie.

tam gdzie \(\displaystyle{ (*)}\) to przez części :

\(\displaystyle{ f'(x) = e ^{at} \ \ \ \ \ \ \ g(x) = \cos (bt) \\ f(x) = \frac{1}{a} \cdot e ^{at} \ \ \ g'(x) = - b \cdot \sin (bt)}\)

Proszę o poprawę w razie błędów.

[aalmond]

\(\displaystyle{ \int e^{at} \cdot \sin ( bt) \mbox{d}t = \frac{1}{a} \cdot e ^{at} \cdot \sin (bt) - \frac{b}{a ^{2} } \cdot e^{at} \cdot \cos ( bt) - \frac{b ^{2} }{a ^{2} } \int e^{at} \cdot \sin ( bt) \mbox{d}t}\)

przerzuć całkę z prawej na lewą i wylicz