Problem z całką nieoznaczoną

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z całką nieoznaczoną

Post autor: godofmayhem »

Do policzenia mam taką całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^{2} - 4x +13 \right) ^{2} }}\)
Doprowadzam ją do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{27} \int \frac{ \mbox{d}t }{\left( t^{2} +1 \right) ^{2} }}\), gdzie \(\displaystyle{ t = \frac{x-2}{3}}\)

Co mam zrobić dalej?
sintom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 20 lip 2010, o 09:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Problem z całką nieoznaczoną

Post autor: sintom »

Zakładam, że podstawienie jest poprawne (na razie nie sprawdzam).
Spróbuj rozkład na ułamki proste.

Można też przekształcić:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} dt = \int \frac{t^2+1 - t^2}{(t^2+1)^2} dt = \int \frac{dt}{t^2+1} dt - \int \frac{t^2}{(t^2+1)^2} dt}\)

Ale chyba lepiej od razu rozklad na ulamki proste.
mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Problem z całką nieoznaczoną

Post autor: mateuszek89 »

niech \(\displaystyle{ I_2= \int \frac{1}{(t^2+1)^2} \mbox{d}t}\) teraz scałkuj przez części biorąc \(\displaystyle{ f^{\prime}(t)=1}\) oraz \(\displaystyle{ g(t)=\frac{1}{(t^2+1)^2}}\). dalej rozbij całkę \(\displaystyle{ \int \frac{t^2}{(t^2+1)^3} \mbox{d}t = \int \frac{(t^2+1)}{(t^2+1)^3} \mbox{d}t - \int \frac{1}{(t^2+1)^3} \mbox{d}t}\). Stąd uzyskasz wzór rekurencyjny wyrażający \(\displaystyle{ I_2}\) w zależności od \(\displaystyle{ I_1}\), które znasz. pozdrawiam!
mmttdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 20 razy

Problem z całką nieoznaczoną

Post autor: mmttdd »

Można też podstawić \(\displaystyle{ t=\tg u}\) i skorzystać z równości \(\displaystyle{ \tg^2 u+1=\frac{1}{\cos^2 u}}\)
godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z całką nieoznaczoną

Post autor: godofmayhem »

Nie rozumiem żadnego z tych sposobów. Jak mogę rozbić taką postać na ułamki proste, bo to wygląda najprościej?
Wo_Ja_Ann
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 lis 2009, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Pomógł: 1 raz

Problem z całką nieoznaczoną

Post autor: Wo_Ja_Ann »

260559.htm
ODPOWIEDZ